52. Системы однородных линейных уравнений, фундаментальная система решений.

Рассмотрим систему линейных уравнений Ах=0 (1). Такая система называется однородной. Однородная система всегда имеет решение. Такое решение называется тривиальным.

Пусть ранг матрицы А равен r:

1. r=n, n-число неизвестных

m=n – матрица квадратная

m>n – можем выделить базисный минор, который можно разместить в верхней части матрицы и с Леммы о базисном миноре следует, что остальные строки А выражаются в виде линейный комбинаций базисных строк, поэтому последнее m-n-уравнение можно отбросить

2. r<n

Пусть базисный минор А, располагается в верхнем углу. Неизвестные коэффициенты которых образованы базисным минором называются базисными, остальные –свободными.

(свободные члены переносим в правую часть, базисные – в левую)

3. Если ранг меньше числа неизвестных, то однородная система имеет неправильное решение.

Свойства решений однородно системы: 1) если x₁, x₂ решение однородной системы (1), то и х= x₁+ x₂ также решение этой системы.

2)если x₁ решение системы (1), что Х=с* x₁ также решение системы.

3) существует n-r линейно-независимых решений системы (1). Эти решения образуют фундаментальную систему решений однородной системы уравнений.

4) такое решение х системы (1) может быть представлено в виде

Х=с₁Х⁽¹⁾+…+с_n-rX^n-r, где Х⁽¹⁾ ….X^n-r – фундаментальная система решений.