15.Взаимное расположение пары прямых на плоскости и угол между ними.

Две прямые называются коллинеарными, если они параллельны или совпадают.Получим условие коллинеарности двух прямых и , заданных общими уравнениями: Необходимым и достаточным условием коллинеарности прямых (3.19) является условие коллинеарности их нормалей и . Следовательно, если прямые (3.19) коллинеарны, то , т.е. существует такое число , что = и наоборот.

Прямые совпадают, если помимо этих условий справедливо . Тогда первое уравнение в (3.19) имеет вид , т.е. равносильно второму, поскольку .

Таким образом, прямые (3.19) параллельны тогда и только тогда, когда соответствующие коэффициенты при неизвестных в их уравнениях пропорциональны, т.е. существует такое число , что , но . Прямые (3.19) совпадают тогда и только тогда, когда все соответствующие коэффициенты в их уравнениях пропорциональны:

1) если , то прямые  и  совпадают;

2) если , то прямые   и параллельные;

3) если , то прямые пересекаются.

Углом между двумя прямыми на плоскости называется угол между их направляющими векторами. По этому определению получаются не один угол, а два смежных угла, дополняющих друг друга до . В элементарной геометрии из двух смежных углов, как правило, выбирается меньший, т.е. величина угла между двумя прямыми удовлетворяет условию

Если прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами: то угол между ними (один из смежных углов) находится по формуле

Если (условие параллельности прямых),то . Если (условие перпендикулярности прямых), то правая часть не определена . Тогда полагают, .