Задачи.

1. Пусть – группа окружности.состоит из всех комплексных чисел с модулем, равным 1 и с операцией умножения. Рассмотрим отображение, определённое формулой. Определите, является ли: а) гомоморфизмом; б) изоморфизмом.

2. Пусть на множестве всех действительных чисел из интервала задана операция, где– дробная часть числа. Докажите, что множествос операциейявляется группой, изоморфной группе окружности.

3. Докажите, что следующие группы попарно изоморфны:

а) ;

б) ;

в) множество матриц ,с операцией умножения матриц, причём сложение осуществляется по модулю;

г) функции ,с операцией суперпозиция функций.

4. Найдите группу автоморфизмов для следующих групп:

а) ; б); в); г); д).

5. Пусть ,. Эти множество образуют группы относительно операции обычного умножения. Определите, какие из следующих отображенийявляются гомоморфизмами:

а) ; б); в); г);

д) ; е); ж).

6. Известно, что группы иизоморфны. Изоморфизмможет быть задан, например, формулой. Изоморфны ли группыи?