Функциональные ряды.
Пусть имеется некоторая последовательность функций.
U1(x), U2(x), …, Un(x), … Образуя из членов этой последовательности рядU1(x)+U2(x)+ …+Un(x)+ … (1)
Ряд (1) называем функциональным и данный ряд при некоторых xможет сходится, при другихxрасходится.
Если (1) сходится в каждой точке xинтервалаAB, то ряд сходится на интервалеAB.
Если сходится последовательность частичных сумм Sn(x), то ряд сходится и сумма его естьS(x)
Остаток ряда S(x)-Sn(x)=rn(x) – остаток
Функциональный ряд может сходится вообще, а может сходится равномерно на некотором интервале.
Понятия равномерного (правильного) функционального ряда позволяет проводить операции дифференцированного интегрирования. Функциональный ряд сходится равномерно, если для сколь угодно малого положительного числа εнайдется такой номерN, начиная с которого выполняется неравенство |rn(x)|< ε
При этом Nне должно зависеть отx.
|rn(x)| = |-Sn(x) + S(x)| < ε
Рассмотрим предел равномерной и неравномерной сходимости числового ряда
при раскрытии скобок
S1(x)=1/(x+1)
S2(x)=1/(x+2)
S3(x)=1/(x+3)
S11(x)=1/(x+11)
Вывод:нетрудно видеть, что начиная с некоторогоN=10 S11и далее все частичные суммы попадают в коридорεS(x)=0 при этомN– номер не зависящий отx.
- 61 Понятие о бесконечности ряда
- Числовые ряды
- Необходимое условие сходимости числового ряда
- Действия над сходящимися рядами
- Достаточные признаки сходимости знакоположительных числовых рядов.
- Радикальный и интегральный признак Коши
- Признак Даламбера
- Знакочередующиеся ряды и признак Лейбница
- Функциональные ряды.
- Признак равномерной сходимости функционального ряда (Вейерштрасса)
- Свойства равномерно функция сходящихся рядов.
- Степенные ряды. Теорема Абеля.
- Ряд Тейлора
- Ряд Фурье. Коэффициенты ряда. (тригонометрические)
- Условия и ряд Дирихле
- Разложение функции на интервале (-l;l)
- Интеграл Фурье
- Задачи, приводящие к понятию двойного интеграла.
- Вычисления двойного интеграла в полярной и декартовой системе координат
- Тройной интеграл и задачи приводящие к нему.
- Криволинейный интеграл первого рода. Геометрический смысл, свойства, приложения.