Радикальный и интегральный признак Коши

Радикальный признак

Пусть требуется установить сходимость ряда U₁+U₂+…+U_n+…

Если существует предел

то, если l<1 ряд сходится. Еслиl>1, то ряд расходится; еслиl=1, то неопределённость

Данный признак применяется в том случае, если nчлен содержитnстепень.

Доказательство: Пусть при всех n

Возведём в nстепень

U_n<lⁿв последнем неравенстве в правой части геометрическая прогрессия со знаменателем <1, которая сходится

Тогда по первому признаку сравнения сходится и ряд U_nпо первому признаку сходимости.

Интегральный признак Коши

Пусть имеем ряд U₁>U₂>U₃>…>U_n>…

Если представить, что каждый член ряда как некоторая численная величина – Sнекоторого прямоугольника шириной =1, аh=Un, то выстроив все прямоугольники получим некоторую ступенчатую фигуруS– которой =Sряда

Если бы эту ступенчатую фигуру представить непрерывной кривой, то следовало бы вычислить Sкриволинейной трапеции с помощью интеграла.

В качестве подынтегральной функции нужно взять n– член ряда и дискретную переменнуюnзаменить на непрерывнуюx, получим некоторый интеграл.

тогда интегральный признак Коши можно сформулировать следующим образом

U_nи интеграл (1) сходятся или расходятся одновременно

Пример:

ряд Дирихле p=const

Выражение принимает значение ∞ при p<1 или 1/(p-1) приp>1.