Система, как отношение на абстрактных множествах

где V, — вес компоненты; iÎI — декартова произведения ÄV_i , называемые объектами системы S; I — множество индексов. В кибернетике наибольший интерес представляют системы с дву­мя объектами — входным объектом X и выходным объектом Y:

1. Система определяется в терминах ее наблюдаемых свойств или, точнее говоря, в терминах взаимосвязей между этими свой­ствами, а не тем, что они на самом деле собой представляют (т. е. не с помощью физических, химических, биологических, социа­льных или других явлений). Это вполне согласуется с природой системных исследований, направленных на выяснение организа­ции и взаимосвязи элементов системы, а не на изучение конкрет­ных механизмов в системе.

2. Определение системы как отношения вида (3.1) является предельно общим. Конечно, различным системам отвечают и различные способы задания описания (дифференциальные урав­нения, булева алгебра, графы и т. д.), но все они есть не более чем отношения вида (3.1). В условиях предельно нечеткой инфор­мации, когда систему удается описать лишь качественно, все словесные утверждения в силу их лингвистических функций определяют отношения типа (3.1). Действительно, каждое высказыва­ние содержит две основные лингвистические категории: термы (денотаты) и функторы. Напомним, что термы используются для обозначения объектов, а функторы — для обозначения отноше­ния между ними. И для каждого правильного множества словес­ных утверждений существует отношение (в математическом смы­сле слова), описывающее формальную взаимосвязь между объектами. Таким образом, система всегда является отношением в смысле (3.1), а уже более узкие классы систем определяются более точно своими специфическими средствами.

3. Системы часто задаются с помощью некоторых уравнений относительно соответствующих переменных. Каждой такой пере­менной можно поставить в соответствие некоторый объект систе­мы, описывающей область значений соответствующей перемен­ной. Утверждая, что система описывается системой уравнений относительно некоторого множества переменных, в сущности считают, что система есть отношение над соответствующими объектами, порожденными этими переменными (по одному объекту на каждую переменную, область значений которой он представляет). При этом любая комбинация элементов этих объектов, принадлежащая этому отношению, удовлетворяет ис­ходной системе уравнений.

Под отношением понимается подмножество конечной декар­товой степени Аⁿ = А ´ А ´ ... ´A данного множества А, т. е. под­множество систем (a₁, a₂, ..., a_n) из n элементов множества А.

Подмножество RÌ.Аⁿ называется n-местным или n-арным от­ношением в множестве А. Число n называется рангом или типом отношения R. Множество всех n-арных отношений в множестве А относительно операций È и Ç является булевой алгеброй.

Для построения теории систем на теоретико-множественном уровне, исходя из определения (3.1), необходимо наделить систе­му как отношение некоторой дополнительной структурой. Это можно сделать двумя способами:

ввести дополнительную структуру для элементов объектов системы; например, рассматривать сам элемент v_i,Î V_i как некото­рое множество с подходящей структурой;

ввести структуру непосредственно для самих объектов систе­мы V_i, iÎI.

Первый способ приводит к понятию (абстрактных) временных систем, а второй — к понятию алгебраических систем.