1.2.1. Нормальная форма Коши

Единообразное по форме и удобное для использования матричного аппарата математическое описание динамических (обычно «гладких») систем достигается в пространстве состояний с использованием переменных состояния, т. е. уравнений в форме Коши

      (1.1)

где векторы переменных состояния, управления и выходов; —   — -мерное евклидово пространство;гладкие отображения. Предполагается выполнение условия — их — существования решений, а для большинства практических задач единственности. Условия существования и единственности решений выполняются, если принадлежит одному из следующих наиболее часто используемых классов функций: постоянные, кусочно-постоянные, кусочно-непрерывные, кусочно-гладкие, измеримые (локально-ограниченные), а функцияудовлетворяет условиям Коши-Липшица — 

В работе [4] приводится классификация форм представления динамических моделей в терминах «вход-состояние-выход», являющихся частными случаями (1.1).

Билинейные системы

где скалярные функции, —  числовые матрицы размеров —  числовая матрица размера — 

L-системы

L-системой называется автономная невырожденная система вида

где , причем

Здесь является коммутатором алгебры Ли соответствующего векторного поля.

Линейные системы

которые приводятся к L-системам -го порядка вида

Линейно-аналитические системы

Если полиномы, то система называется —  полиномиальной [132, 141, 161].

Системы с управлением, входящим линейно (правоинвариантные, аффинные) (векторное представление)

Системы управления с функциональными коэффициентами при переменных состояния и управления (матричное представление)

В ряде работ [43, 51, 52] принимается следующее описание

в векторно-матричной записи

Переход от векторного к матричному представлению осуществляется с помощью интегрального преобразования [11]

где матрица Якоби, найденная по —  из (1.12б).

Нормальная форма Коши (НФК) удобна для представления модели в алгорит­мах явного типа, и позволяет широко применять богатую матричную арифме­тику современных пакетов программ и библиотек языков программирования [1, 72, 86, 92, 96, 108].

К недостаткам данной формы представления необходимо отнести то, что в ней не сохраняется информации о топологии модели.