1. Положительные массы

Задача 1: В треугольнике ABC (рис. 7) точка F делит основание ВС в отношении 3:1, считая от вершины В. Точки М и Р отсекают от боковых сторон АВ и АС по одной шестой, считая соответственно от вершины А и от вершины С. В каком отношении делится каждый из отрезков MP и AF точкой их пересечения?

Решение: Загрузим точки В и С такими массами, чтобы их центром оказалась точка F; очевидно, достаточно (в силу правила рычага) поместить в В массу 1 (т. е. рассмотреть материальную точку 1В), а в С -- массу 3. Далее, имея уже материальную точку 1В, подберем для точки А такую массу х, чтобы точка М оказалась центром масс двух материальных точек 1B и хА. По правилу рычага имеем 1* |ВМ| = х |МА|, откуда х = |ВМ|:|МА| = 5. Наконец, имея материальную точку ЗС, подберем для точки А еще другую массу у так, чтобы точка Р оказалась центром масс двух материальных точек ЗС и уА. По правилу рычага имеем 3|CP| = у|РА|, откуда у = 3|CP| : |РА| = 0.6. У нас возникла новая ситуация: кроме материальных точек 1В и ЗС, мы имеем в точке А две различные массы 5 и 0,6.

Рассмотрим систему из всех четырех материальных точек 1В, 5А, ЗС и 0,6А. Её центр масс обозначим через Z. Перенесем массы материальных точек 1B и 5А в и их центр масс М, а массы материальных точек ЗС и 0,6А - в их центр масс Р. Тогда Z окажется центром масс лишь двух материальных точек 6М и 3,6Р. Значит, ZЄ[MP]. Мы могли бы и иначе сгруппировать те же четыре материальные точки: перенести массы материальных точек 1В и ЗС в их центр масс F, а вместо 5А и 0,6А рассмотреть одну материальную точку 5,6А. Тогда Z окажется центром масс двух материальных точек 4F и 5,6А. Поэтому ZЄ[AF]. Следовательно, Z -- точка пересечения отрезков MP и AF. Так как Z -- центр масс материальных точек 5,6А и 4F, то 5,6|AZ| = 4|FZ|, так что |AZ|: |ZF| = 5:7. Аналогично убедимся, что 6|MZ| = 3,6|PZ|, откуда | MZ| : |ZP| = 3: 5.

Задача 2: Через точку Р, расположенную внутри параллелограмма ABCD, проведены прямые, параллельные сторонам параллелограмма. Они пересекают стороны АВ, ВС, CD, DA соответственно в точках К, L, М, N (рис. 8). Пусть Q -- точка пересечения средних линий четырехугольника KLMN, a S -- центр параллелограмма. Докажем, что точка Q лежит на отрезке PS, и определим, в каком отношении делит она этот отрезок. Решение: Сначала загрузим вершины четырехугольника KLMN массами так, чтобы центром полученных четырех масс оказалась точка Q.

Для этого достаточно поместить в каждую из точек К, L, М, N массу 1. Заметим теперь, что KBLP -- параллелограмм; поэтому можно заменить материальные точки 1К и 1L на материальные точки 1B и 1Р, т. е. Q является центром масс материальных точек 1B, 1P, 1М, 1N. Аналогично материальные точки 1M и 1N можно заменить на материальные точки 1D и 1P. Точка Q окажется центром масс четырех материальных точек 1В, 1P, 1D, 1P, а значит, центром масс двух материальных точек 2S и 2Р (поскольку S -- середина отрезка BD). Но тогда по правилу рычага точка Q расположена на отрезке SP и делит его пополам.