Доказательства новых математических фактов с помощью свойств центра масс

курсовая работа

3. Комплексные массы

В этом параграфе предположим, что массы рассматриваемых материальных точек могут принимать не только отрицательные значения, но и, более того, не быть действительными, т. е. могут принимать произвольные комплексные значения.

Отрицательные массы могут оказаться весьма полезными при решении геометрических задач. Нетрудно привести соображения, показывающие, что отрицательные массы могут иметь и прямое механическое истолкование. Вообразим себе однородную жидкую или газообразную среду (например, сосуд, наполненный водой), в которой находятся небольшие шарики («материальные точки»), соединенные друг с другом жесткими невесомыми стержнями. Пусть шарик, расположенный в точке А1 имеет объем и массу m1. Тогда на него действует направленная вниз сила тяжести, имеющая величину m1, и архимедова выталкивающая сила, которая имеет величину (p) (где р -- плотность жидкости) и направлена вверх -- противоположно силе тяжести (рис. 12). Иначе говоря, сила тяжести равна (а выталкивающая сила равна - (pгде e - единичный вектор, направленный вниз. В результате окатывается, что на шарик А1 действует сила (. Это можно условно истолковать так (отбросив среду), как будто шарик находится в вакууме и имеет «приведенную» массу тогда как раз на него будет действовать сила тяжести, равная. Если при этом (шарик имеет большую плотность, чем жидкая среда), то «приведенная» масса положительна; если же (шарик рыхлый, т. е. его плотность меньше плотности среды), то «приведенная» масса отрицательна. Таким образом, при нахождении центра «приведенных» масс надо учитывать, что они могут быть как положительными, гак и отрицательными.

Например, если в воду помещены деревянный и стальной шарики, насаженные на невесомый стержень, то «приведенная» масса первого из них отрицательна, а второго - положительна. Поэтому центр Z этих масс («приведенных») находится вне отрезка, концами которого являются шарики. Если укрепить стержень шарнирно в этой точке Z, то вся система останется в равновесии (рис. 13). Это и понятно: результирующая сила, действующая на деревянный шарик, направлена вверх (шарик всплывает), а действующая на стальной шарик - вниз (он тонет), и поскольку - по правилу рычага - моменты (т. е. произведения плеч на соответствующие «приведенные» массы) равны по величине и противоположно направлены, система останется в равновесии.

На сторонах ?А1А2А3 , как на основаниях, построены равнобедренные треугольники А1В3А2, А2В1А3, А3В2А1 с одним и тем же углом при вершинах В1, В2, В3, не имеющие с ?А1А2А3 общих внутренних точек. Докажем, что точка пересечения медиан ?В1В2В3 совпадает с точкой пересечения медиан ?А1А2А3 (рис. 14).

Решение: Вектор может быть получен из вектора поворотом па угол . Поэтому Значит, В3 центр масс двух материальных точек 1А1 и А2.

Аналогично, В1 -- центр масс материальных точек 1А2 и А3, а В2 -- центр масс материальных точек 1А3 и А1.

Рассмотрим систему всех шести материальных точек и обозначим через Z ее центр масс (суммарная масса этой системы равна 3 (1 ) ). Применяя формулу

и производя двумя способами группировку, находим

Отсюда ясно, что центроиды (т. е. точки пересечения медиан) обоих треугольников А1А2А3 и В1В2В3 совпадают с точкой Z. Заметим, что доказанное утверждение остается в силе, если на сторонах треугольника А1А2А3 строятся не равнобедренные, а подобные и одинаково ориентированные треугольники

На сторонах произвольного треугольника А1А2А3, как на основаниях построены равносторонние треугольники A1B3A2, A2B1A3, A3B2A1, не имеющие с треугольником А1А2А3 общих внутренних точек. В этих треугольниках отмечены их центры P3,P1,P2. Докажем, что ? P1P2P3 - также равносторонний.

Вектор можно получить из поворотом на угол 2р/3 (рис.15). Поэтому, пологая , имеем значит, P3 - ценрт масс материальных точек 1А1 и (-с)А1. Аналогично, P1 - центр масс материальных точек 1А3 и (-с)А2; далее, P2 - центр масс материальных точек 1А1 и (-с)А3, а значит, P2 - центр масс материальных точек (-1)А3 и (1/с)А1. Рассмотрим теперь четыре материальные точки 1А3, (-с)А2, (-1)А3, (1/с)А1 и пусть Z - их центр масс (суммарная масса этой системы равна -с+(1/с)?0). Произведём группировку масс:

Из этого видно, что Z - центр масс материальных точек (1/с)А1 и (-с)А2, а следовательно, и двух материальных точек 1А2 и (-с)А1 (поскольку с3=1). Следовательно, Z=P3. С другой стороны,

.

Умножая для упрощения на и учитывая, что Z=P3, перепишем это равенство в виде Так как , то вектор можно получить из вектора поворотом на Следовательно, ? P3P1P2 - правильный.

Делись добром ;)