1.4.2 Инвариантная мера в Sp
Рассмотрим полугруппу и попытаемся ввести в ней инвариантную меру. Нетрудно убедится, что -алгебра борелевских множеств на является сужением -алгебры борелевских множеств на , т.е.
.
Теорема. где , является -аддитивной инвариантной мерой, заданной в полугруппе .
Доказательство. Пусть - мера Лебега - Стилтьеса, где .
Она определена на, а значит, определена и на . Очевидно, что строго возрастает на. Кроме того, она непрерывна, а значит, непрерывна слева на всей области определения. Тогда по свойствам меры -аддитивна. Осталось проверить ее инвариантность.
Докажем, что данная мера инвариантна слева, т.е. . Ввиду -аддитивности меры достаточно показать, что это верно для M = [a;b), где . Покажем это.
.
Заметим, что непрерывна как композиция непрерывных функций, а значит . Тогда
=
==
.
Итак, данная мера инвариантна слева. Аналогично показывается, что она инвариантна справа, ч.т.д.
- ВВЕДЕНИЕ
- 1. ПОЛУХАРАКТЕРЫ И ХАРАКТЕРЫ
- 1.1 Начальные сведения
- 1.2 Двойственность Понтрягина
- 1.3 Функциональная характеристика показательной функции
- 1.4 Полугруппа Sp
- 1.4.1 Определение и некоторые свойства
- 1.4.2 Инвариантная мера в Sp
- 1.4.3 Полухарактеры и характеры в Sp
- 1.5.3 Полухарактеры и характеры в S
- 2. ОПЕРАТОРЫ ГАНКЕЛЯ
- 2.1 Определения матрицы и оператора Ганкеля
- 2.2 Ганкелевы операторы в пространствах Харди
- 2.3 Символы операторов Ганкеля и Теорема Нехари
- ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- 9.2. Свойства простых операторов.
- Группы некоторых свойств
- Группы операторов sql
- Свойства сложения линейных операторов
- Отметим некоторые простейшие свойства групп.
- §2. Действия над линейными операторами.
- 9.2. Свойства простых операторов.
- 9.2. Свойства простых операторов.
- Группа операторов тесселяции