2.3 Символы операторов Ганкеля и Теорема Нехари

Теперь мы рассмотрим характерный пример оператора Ганкеля.

Лемма. Пусть и .

Тогда 1) - ограниченный оператор Ганкеля,

2) ,

3) .

Доказательство. Пусть и удовлетворяют условиям леммы. Тогда для всех , и

для . Следовательно, - ограниченный оператор Ганкеля. Кроме того, для мы имеем

,

отсюда

.

Ясно, что это равенство не выполняется для каждого , если функция не голоморфная. Получим

для каждого , , и наконец

.

Лемма доказана.

Обратное утверждение также верно. Его называют теоремой Нехари.

Теорема (З. Нехари, 1957). Если оператор является ограниченным оператором Ганкеля, то существует такой, что и .