Свойства сложения линейных операторов

1.  + ψ = ψ + .

2. ( + ψ) + η =  + (ψ + η).

3.   :  ,  +  =, где  – нулевой оператор.

4.  ,  (–) :  + (–) = , где (–) – противоположный оператор.

2. Умножение линейного оператора на элемент поля.

Определение 9.6. Произведением линейного оператора  на элемент λ поля P называется отображение, обозначаемое λ, действующее по правилу (λ)(x) = λ(x), для  х  V.

Теорема 9.4. Произведение линейного оператора  на элемент λ поля P является линейным оператором.

Свойства умножения линейного оператора на элемент λ поля P

1. 1 = .

2. (μ) = (μ) = μ().

3. ( + μ) =  + μ.

4. ( + ψ) = λ + ψ.

3. Умножение линейных операторов.

Определение 9.7. Произведением линейных операторов  и ψ называется отображение, обозначаемое ψ и действующее по правилу: (ψ)(x) = (ψ(x)), для  х  V.

Теорема 9.5. Произведение линейных операторов является линейным оператором.

Свойства умножения линейных операторов

1. ψ ≠ ψ.

2. (ψ)η = (ψη).

3. ( + ψ)η = η + ψη.

4. η( + ψ) = η + ηψ.

5. (λ)η = (λη).

Связь между действиями над линейными операторами и действиями над их матрицами

В векторном пространстве V над произвольным полем P выбран произвольный базис e₁, e₂, …, e_n. В пространстве V заданы линейные операторы  и ψ, для которых в данном базисе найдены матрицы: M(), M(ψ).

Теорема 9.6. а) Матрица суммы линейных операторов равна сумме их матриц, то есть M( + ψ) = M() + M(ψ).

б) Матрица произведения линейного оператора на элемент λ равна произведению его матрицы на этот элемент λ, то есть M(λ) = λM().

в) Матрица произведения линейных операторов равна произведению их матриц, то есть M(ψ) = M()M(ψ).