1.5.3 Полухарактеры и характеры в S

Справедливо следующее утверждение:

Теорема. Отображение является полухарактером , где , так, что и .

Доказательство. 1) Отображение непрерывно как композиция непрерывных отображений; кроме того, и . Также верно, что . Действительно.

.

Таким образом, - полухарактер.

2) Пусть теперь - некоторый полухарактер. Тогда , т.е.

.

Заметим, что . Обозначим , тогда . Положим , , f непрерывна как композиция непрерывных функций (ц непрерывна по условию). Тогда ,

и мы придем к равенству

,

.

Заметим, что . Тогда т., что , отсюда следует, что (f непрерывна). Это верно . Тогда, положив , получим: , c=const, . Тогда .

Вернемся к равенству . Пусть в нем , тогда при .

Если , то получаем равенство .

Тогда т., что , и, следовательно,

,

Откуда и получим, что .

Для отрицательных значений x проводятся аналогичные рассуждения.

Итак , ч.т.д.

Замечание. Если | c | = 1 и | a | = 1, то мы получим соответствующую теорему для характеров.