1.1 Историческая справка

К понятию предела вплотную подошли ещё древнегреческие учёные при вычислении площадей и объёмов некоторых фигур и тел с помощью исчерпывания метода. Так, Архимед, рассматривая последовательности вписанных и описанных ступенчатых фигур и тел, с помощью метода исчерпывания доказывал, что разность между их площадями (соответственно объёмами) может быть сделана меньше любой наперёд заданной положительной величины. Включая в себя представление о бесконечно малых, метод исчерпывания являлся зародышем теории пределов. Однако в явном виде в древнегреческой математике понятие предела не было сформулировано.

Новый этап в развитии понятия предела наступил в эпоху создания дифференциального и интегрального исчислений. Г. Галилей, И. Кеплер, Б. Кавальеры, Б. Паскаль и другие широко используют при вычислении площадей и объёмов "неделимых" метод, метод актуальных бесконечно малых, т. е. таких бесконечно малых, которые, по их представлению, являются неизменными величинами, не равными нулю и вместе с тем меньшими по абсолютной величине любых положительных конечных величин. Продолжает в этот период применяться и развиваться и метод исчерпывания (Григорий из Сен-Винцента, П. Гульдин, X. Гюйгенс и др.). На основе интуитивного понятия предела появляются попытки создать общую теорию пределов. Так, И. Ньютон первый отдел первой книги ("О движении тел") своего труда "Математические начала натуральной философии" посвящает своеобразной теории пределов под названием "Метод первых и последних отношений", которую он берёт за основу своего флюксий исчисления. В этой теории Ньютон взамен актуальных бесконечно малых предлагает концепцию "потенциальной" бесконечно малой, которая лишь в процессе своего изменения становится по абсолютной величине меньше любой положительной конечной величины. Точка зрения Ньютона была существенным шагом вперёд в развитии представления о пределе. Понятие предела, намечавшееся у математиков XVII в., в XVIII в. постепенно всё больше анализировалось (Л. Эйлер, Ж. ДАламбер, Л. Карно, братья Бернулли и др.) и уточнялось. В этот период оно служило лишь для попыток объяснить правильность дифференциального и интегрального исчисления и ещё не являлось методом разработки проблем математического анализа.

Современная теория пределов начала формироваться в начале XIX в. в связи с изучением свойств различных классов функций, прежде всего непрерывных, а также в связи с попыткой доказательства существования ряда основных объектов математического анализа (интегралов функций действительных и комплексных переменных, сумм рядов, алгебраических корней и более общих уравнений и т. п.). Впервые в работах О. Коши понятие предела стало основой построения математического анализа. Им были получены основные признаки существования предела последовательностей, основные теоремы о пределах и, что очень важно, дан внутренний критерий сходимости последовательности, носящий теперь его имя. Наконец, он определил интеграл как предел интегральных сумм и изучил его свойства, исходя из этого определения. Окончательно понятие предела последовательности и функции оформилось на базе теории действительного числа в работах Б. Больцано и К. Вейерштрасса. Из дальнейших обобщений понятия предела следует отметить понятия предела, данные в работах С. О. Шатуновского (опубликованы в 1923 г.), американских математиков Э. Г. Мура и Г. Л. Смита (1922 г.) и французского математика А. Картана (1937 г.).