23) Основные теоремы о пределах

Для определения пределов неопределённых выражений типа часто бывает полезна следующая теорема, принадлежащая Штольцу (O. Stolz).Теорема: Пусть варианта , причём - хотя бы начиная с некоторого места - с возрастанием п и у_п возрастает: т.е. у_п+1 > y_n. Тогдаесли только существует предел справа (конечный или даже бесконечный).Доказательство: Допустим сначала, что этот предел равен конечному числу L:Тогда по любому заданному найдется такой номер N, что для n > N будетили.Значит, какое бы n > N ни взять, все дробилежат между этими границами. Так как знаменатели их, ввиду возрастания у_п вместе с номером п, положительны, то между теми же границами содержится и дробьчислитель которой есть сумма всех числителей, написанных выше дробей, а знаменатель - сумма всех знаменателей. Итак, при n > Nзапишем тождествооткуда.Второе слагаемое справа, как мы видели выше, при n > N становится < .Первое же слагаемое, ввиду того, что, также будет < , скажем, для n > N'. Если при этом взять N' > N, то для n > N' очевидночто и доказывает наше утверждение.Случай бесконечного предела приводится к выше рассмотренному. Пусть, например,Отсюда, прежде всего, вытекает, что (для достаточно больших n)следовательно, вместе с у_n и , причем варианта х_п возрастает с возрастанием номера п. В таком случае, доказанную теорему можно применить к обратному отношению :(ибо здесь предел уже конечен), откуда и следует, чточто и требовалось доказать.