1.5 Теорема Штольца

Во многих случаях для исследования сходимости частного двух последовательностей и оказывается полезным следующее утверждение.

Теорема (Штольца). Пусть - возрастающая бесконечно большая последовательность, и пусть последовательность сходится и имеет предел а. Таким образом,

= .

Доказательство. Поскольку последовательность сходится и имеет пределом число а, то последовательность , где

= - а,

бесконечно малая. Пусть N - любой фиксированный номер и n > N. Используя выражение для , рассмотрим следующую серию неравенств:

 а() + (),

а() + (),

а() + (),

а() + ().

Так как - возрастающая бесконечно большая последовательность, то, начиная с некоторого номера, её элементы положительны. Будем считать, что при n ? N, > 0. Тогда из последнего равенства получим

- а = + .

Поскольку последовательность - возрастающая, то разности , К = N, N+1, …, n-1, … положительны. Поэтому из последнего соотношения имеем:

? + (1)

Теперь докажем, что последовательность сходится и имеет предел а. Для этого достаточно доказать, что для любого положительного е можно указать номер N такой, что при n ? N, выполняется неравенство < е. По данному е > 0 выберем номер N так, чтобы при n ? N выполняется неравенство < (это возможно, поскольку последовательность бесконечно малая). Далее, выберем номер N ? N так, чтобы при n ? N выполнялось неравенство < е. Такой выбор номера N возможен, поскольку число фиксировано, а последовательность - бесконечно большая последовательность, и поэтому последовательность - бесконечно малая.

Пусть теперь n ? N. Из неравенства (1) имеем

< , или < .

Так как при n ? N, < и > 0, то ? 1. Поэтому, при n ? N из последнего неравенства имеем < е. Что и требовалось доказать.

Замечания. Если - возрастающая бесконечно большая последовательность, а последовательность также бесконечно большая и стремится к бесконечности определенного знака, то последовательность бесконечно большая.