1.2 Основные понятия и определения числовой последовательности

Числовая последовательность есть функция натурального аргумента. Понятие числовой последовательности возникло и развивалось задолго до создания учения о функции. Вот примеры бесконечных числовых последовательностей:

1) 1, 2, 3, 4, 5, …- последовательность натуральных чисел.

2) 2, 4, 6, 8, 10, …- последовательность четных чисел.

3) 1, 3, 5, 7, 9, …- последовательность нечетных чисел.

4) 1, 4, 9, 16, 25, …- последовательность квадратов натуральных чисел.

5) 2, 3, 5, 7, 11, …- последовательность простых чисел.

Число членов каждой последовательности бесконечно. Все перечисленные последовательности, кроме последнего примера, являются заданными в виду того, что для каждой из них известен общий член, то есть правило получения члена с любым номером. Для последовательности простых чисел общий член не известен, однако, еще в III в. до н.э. александрийский ученый Эратосфен указал способ получения n-го её члена («решето Эратосфена»).

Определение 1. Если каждому числу n натурального ряда чисел 1, 2,…, n,… ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число xn, то множество вещественных чисел , , , …, , (1) расположенных в порядке возрастания номеров n, называется xn числовой последовательностью.

Числа называются элементами или членами последовательности (1).

Например, обозначается последовательность 1, , …, , …, а

{1+(-1) ⁿ} - последовательность 0, 2, 0, 2, ….

Различают следующие виды последовательности:

а) монотонные последовательности;

b) ограниченные и неограниченные последовательности;

c) бесконечно малые последовательности;

d) последовательности Аршона;

e) последовательность, устанавливающаяся приближенным методом (процесс радиоактивного распада).

Монотонные последовательности

К монотонным последовательностям относят убывающие, невозрастающие, возрастающие, неубывающие последовательности.

Определение 2. Последовательность an называется убывающей, если каждый предыдущий член больше последующего, то есть если

> > >…> > > …

Или последовательность называется убывающей, если an+1 < an, для всех n.

Определение 3. Последовательность an называется невозрастающей, если ? , для всех n, или, другими словами, каждый предыдущий член не меньше последующего.

Определение 4. Последовательность an называется возрастающей, если каждый последующий член больше предыдущего, то есть

< < < … < < < … < , для всех n.

Определение 5. Последовательность an называется неубывающей, если ? ,, для всех n, или, другими словами, каждый последующий член не меньше предыдущего.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение 6. Последовательность an называется ограниченной, если существуют числа М и m такие, что для любого n имеет место равенство m ? an ? M. В противном случае она называется неограниченной.

Например, последовательность, an = и an = (-1) ⁿ ограниченные, так как 0 ? ? 1 и -1 ? (-1) ⁿ ? 1, для любого nN. Последовательность an = n; an = -n; an = (-1) ⁿ • n являются ограниченными.

Определение 7. Последовательность an = n будет ограничена снизу, так как 1 ? n для любого n, nN и ограничена сверху, так как не существует числа М такого, что n ? М для любого n, nN. Аналогично, последовательность an = -n; является ограниченной сверху и ограниченной снизу, последовательность an = (-1)ⁿ являются неограниченной и сверху, и снизу.

Геометрическая ограниченность последовательности an означает существование отрезка [m; M], на котором помещены все члены этой последовательности. Справедливость этого утверждения следует из того факта, что все члены ограниченной последовательности удовлетворяют неравенству m ? an ? M. Очевидно, что последовательность an будет ограниченной тогда и только тогда, когда существует такое число B, что | an | ? B, для любого n. Действительно, достаточно положить B равным наибольшему из чисел | m| и | M|.

Бесконечно малые последовательности

Определение 8. Последовательность an называется бесконечно малой, если для любого е > 0 существует номер N, начиная с которого каждый член последовательности an по модулю меньше е: (е > 0) ( N) (n ? N) | an | <е.

Определение 8.1. Бесконечно малая последовательность- это последовательность, предел которой равен 0.

Если некоторый член последовательности an удовлетворяет неравенству | an | < е или, что то же самое, неравенству - е < an < е, то он лежит внутри интервала (-е ;е); если неравенство | an | < е выполняется для всех n ? N, то член последовательности с номером N и все следующие за ним члены лежат внутри интервала (-е ;е). Таким образом, можно дать следующее геометрическое истолкование бесконечно малой последовательности: какой бы интервал (-е ;е) мы ни взяли, вся последовательность, начиная, с номера N лежит внутри этого интервала.

Справедливо следующее утверждение:

Теорема 1. Если a1, a2, …, an, …- монотонно возрастающая последовательность натуральных чисел и С > 0, то последовательность , , …, , … бесконечно мала.

Понятие бесконечно малой последовательность оказывается весьма полезным при изучении пределов. Поэтому имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Для того чтобы число а было пределом последовательности a1, a2, …, an, …- необходимо и достаточно, чтобы последовательность a1 -a, a2 - a,…, an - a, … была бесконечно мала.

Следствие. Если последовательность a1,a2,…, an,… имеет предел а, то

an = а + вn,

где {вn} - бесконечно малая последовательность.

Обратно, если

an = а + вn,

где {вn} - бесконечно малая последовательность.

Свойство 1. Стационарная последовательность является бесконечно малой, если С = 0.(То есть = ==…= 0).

Свойство 2. Свойство последовательности быть бесконечно малой не нарушиться, если отбросить конечное число членов, либо приписать.

Свойство 3. Если an - бесконечно малая последовательность и выполняется условие вn < an, то вn - бесконечно малая последовательность.

Свойство 4. Бесконечно малая последовательность всегда ограниченная.

Свойство 5. Сумма двух бесконечно малых последовательностей являются бесконечно малой последовательностью.

Свойство 6. Произведение бесконечно малой последовательности и ограниченной последовательности, есть бесконечно малая последовательность.

Свойство 7. Произведение бесконечно малой последовательности и любого числа, есть бесконечно малая последовательность.

Последовательности Аршона

Назовем последовательность цифр повторной последовательностью, если в ней есть хотя бы одна пара рядом стоящих одинаковых групп цифр. Например, последовательности: 1, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 2, 1 и 1, 2, 2, 7, 6, 2, 7, 6, 8 - повторные последовательности, а последовательности 4, 2, 1, 2, 3, 2, 3 и 3, 2, 3, 1, 2, 7 не являются повторными (бесповторными). Через Б(n) обозначим множество бесповторных последовательностей длины n, а через |Б(n)| - их число. Интуитивно: чем длиннее последовательность, тем вероятнее, что в ней найдутся две рядом стоящие группы цифр. И в самом деле, если наугад выписывать достаточно длинную последовательность, то наверняка эта последовательность окажется повторной.

Легко доказать, что все последовательности длины больше трёх, составленные из двух цифр 1 и 2 - повторные. Однако из трёх различных цифр можно составить как угодно длинную бесповторную последовательность. Этот факт в 1937 году доказал советский математик С.Е. Аршон.

Аршон предложил индуктивный способ построения бесповторных последовательностей, заключающийся в следующем:

Обозначим через бесповторную последовательность 1, 2, 3. Предположим, что бесповторная последовательность уже построена . Последовательность получается из неё так.

Если число - четно и на - м месте в последовательности стоит 1, то последовательность приписывается тройка цифр 3, 2, 1; если стоит 2, - то тройка 1, 3, 2; если 3, - то тройка 2, 1, 3.

Если число - нечетно и на - м месте в последовательности стоит 1, то последовательность приписывается тройка цифр 1, 2, 3; если стоит 2, - то тройка 2, 3, 1; если 3, - то тройка 3, 1, 2.

Например: в частности,

= 1, 2, 3, 1, 3, 2 (= 2 - число четное, и на втором месте в последовательности стоит 2);

= 1, 2, 3, 1, 3, 2, 3, 1, 2 (= 3 - число нечетное, и на третьем месте в последовательности стоит 3);

= 1, 2, 3, 1, 3, 2, 3, 1, 2, 3, 2, 1 (= 4 - число четное, и на четвертом месте в последовательности стоит 1).

Последовательность, устанавливающаяся приближенным методом (процесс радиоактивного распада)

Часто встречаются последовательности, которые ?устанавливаются? лишь приближенно.

Рассмотрим процесс радиоактивного распада. Предположим, что взяли кусок радиоактивного вещества весом в 1024 гр., причем за одни сутки вес вещества уменьшается в результате распада вдвое. Будем взвешивать кусок, на весах, чувствительность которых равна 10 гр.. Вес вещества даёт последовательность: 1024, 512, 256, 128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1, , , …(I).

Ясно, что по истечению 7 суток, когда вещества осталось 8 гр., весы с чувствительностью 10 гр. не дадут отличить истинное положение вещей от полного отсутствия, данного вещества.

Весы с чувствительностью в 0,1 гр. покажут отсутствие вещества лишь по истечении 14 суток. И какой бы чувствительности весы мы ни взяли, наступит момент, начиная с которого мы не сможем выяснить с их помощью, осталось вещество или нет.

Итак, последовательность чисел (I) обладает следующими свойствами:

Какое бы число е > 0 мы не взяли, найдётся номер N, начиная с которого члены последовательности отличаются от нуля меньше, чем на е.

Если бы взяли смесь, состоящую из 1024 гр. радиоактивного вещества и 2000 гр. нерадиоактивной примеси, то в ходе радиоактивного распада вес этой смеси приближался бы к е > 0 весы мы не взяли, разность между весом смеси и весом в 2000 гр. станет меньше е. И иначе, любые весы, начиная с некоторого момента, покажут, что осталось 2000 гр. смеси. На самом же деле вес смеси изображается последовательностью: 3024, 2512, 2236, 2128, 2064, 2034, 2016,2008, 2004, 2002, 2001, … и т. д.… Эта последовательность не устанавливается на числе 2000, но её члены по мере возрастания номера приближаются к 2000.