2.1 Примеры вычисления предела последовательности

числовой последовательность предел штольц

Пример 1. Доказать, что = .

Решение. Рассмотрим последовательность an = -. Имеем

an = =.

Поскольку an = ^- бесконечно малая последовательность. Это означает, что

= .

Ответ: = .

Пример 2. Вычислить предел .

Решение.

=

===.

Ответ: =.

Пример 3. Вычислить предел = ,

Решение.

= == при делим на n в высшей степени, т. е.

===2.

Ответ: =2.

Пример 4. Вычислить предел =.

Решение.

= ===

==0.

Ответ: =0.

Пример 5. Вычислить предел =.

Решение.

===

===.

Ответ: =.

Пример 6. Вычислить предел последовательности .

Решение.

Разделим числитель и знаменатель на , получаем

=.

Предел числителя равен 2, а знаменатель бесконечно мал. Следовательно,

= ?.

Ответ: = ?.

Правило. Если общий член последовательности является алгебраической дробью от n, то есть если

то:

a) при k = m имеем:

b) при k < m имеем:

c) при k > m имеем:

Пример 7. Вычислить предел последовательности: .

Решение.

Используя данные из примера 10, заключаем

=,

произведя вычитание дробей, получим

.

Заметим,

=.

Полагая равным числителю этой дроби, а - знаменателю, применив теорему Штольца:

.

Но , а ,

так, что окончательно,

.

Ответ: =.

Пример 8. Вычислить предел .

Решение.

В выражение, стоящим под знаком предела раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получим

=,

так как , разделим числитель и знаменатель наивысшую степень , тогда

=.

Ответ: .

Пример 9. Найти предел .

Решение. Как и в примере 12, делим числитель и знаменатель на наивысшую степень , получаем

==.

Ответ: =0.

Пример 10. Доказать, что .

Решение.

Возьмем число > 0.Его можно представить в виде: , где > 0. По формуле бинома Ньютона имеем:

.

При n > 2, , и следовательно, . Положим . Тогда , и последнее неравенство перепишем в виде: или . Извлекая квадратный корень, имеем: . Пользуясь теоремой 4 (0 =), получим, что = 0. Значит,

.

Что и требовалось доказать.

Ответ: .

Пример 11. .

Найти: .

Решение.

.

Ответ: =3.

Пример 12. Доказать, что последовательность имеет предел, равный 1.

Решение. Преобразуем выражение для :

.

Так как , то имеет место неравенство: . Вследствие того, что и , то по теореме 4 получим, что

.

Ответ: .

Пример 13. Доказать существование предела последовательности с общим членом .

Решение. При любом n ? 1 выполняется неравенство

.

Поэтому последовательность монотонно и возрастает. Далее, при n ? 1 имеет место неравенство n ?, а поэтому

.

Итак, последовательность монотонно возрастает и ограничена сверху, то есть выполняется условие теоремы 5. Следовательно, существует предел последовательности .

Ответ: существует.

Пример 14. Пользуясь определением, доказать, что последовательность , есть бесконечно малая, то есть что ^.

Решение. Мы должны показать, что для любого , такое, что для всех n>N величина <. Имеем:

=<.

Для каждого n, удовлетворяющего неравенству <, то есть для n>, будет справедливо и неравенство <.

Следовательно, за N можно взять. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Пример 15. Пусть q - число, удовлетворяющее условию: > 1. Доказать, что , то есть что последовательность бесконечно большая.

Решение. Так как > 1, то положив , видим, что h > 0. Тогда по неравенству Бернулли:

.

Так как все слагаемые в последней сумме положительны, то >.

Последовательность бесконечно большая. Значит, и - бесконечно большая последовательность, то есть

.

Ответ: .

При нахождении пределов переменных величин, и в частности последовательностей, часто оказывается полезной теорема о пределе промежуточной переменной.

Пример 16. Доказать, что последовательность не имеет предела.

Решение. Перепишем в виде:

.

Если n - четное число, то

^,

если n - нечетное число, то

.

Следовательно, если и пробегает четные значения, то, если нечетные значения, то .

Но если бы последовательность имела предел а, то и всякая ее подпоследовательность имела бы тот, же предел. Отсюда следует, что данная последовательность не имеет предела.

Ответ: не имеет предела.

Замечание. Под частичной последовательностью понимают, любую последовательность, получающуюся из данной удалением некоторых ее членов или даже удалением бесконечного множества их.