1.3 Определение предела числовой последовательности

Понятие предела - фундаментальное понятие математического анализа.

Геометрический смысл понятия предела: известно, что неравенство < е задает часть числовой оси, лежащую между точками a - е и a + е, то есть промежуток радиуса е с центром в точке a. Мы назвали этот промежуток е - окрестностью точки a, а е - радиусом окрестности.

Определение 9. Число а называется пределом последовательности {an}, если, какую бы окрестность точки a мы не выбрали, найдется номер N, начиная с которого все точки последовательности {an} попадут в эту окрестность (рис 1.)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис 1.

Иными словами, вне любой, сколь угодно малой окрестности точки а лежит лишь конечное число членов нашей последовательности.

Определение 10. Число a называют пределом числовой последовательности {an}, если {an - a} - бесконечно малая последовательность. Обозначается:

an =a.

Говорят так же, что последовательность an сходится. Если последовательность не имеет предела, то ее называют расходящейся.

Определение 11. Число b называют пределом числовой последовательности xn, если е > 0 существует номер N, начиная с которого выполняется неравенство < е. Что короче:

(е > 0) ( N) (n ? N) |xn - b| < е.

Пусть даны последовательности , , …,, …и ,, …, ,… Последовательность:

^a) , ,…,,…называется суммой этих последовательностей;

^b) , ,…,,…называется разностью этих последовательностей;

^c) , ,…,,…называется произведением этих последовательностей;

^d) , ,…,,…называется частным (при условии, что все элементы последовательности были отличны от нуля) этих последовательностей.