logo
Властивості простих чисел

5. Прості числа Мерсенна

Числа Мерсенна - це числа виду, де p - довільне ціле число, зване показником. Ці числа вабили математиків з найдавніших часів, орієнтовно з Евкліда (приблизно 300 рік до нашої ери), правда, до XVI століття вчені вважали, що всі ці числа прості, тобто діляться тільки на себе і одиницю. Це, звичайно ж, неправильно - досить поглянути на четверте число Мерсенна: воно дорівнює 15 і подається у вигляді добутку 3 і 5.

Мабуть, першим, хто помітив, що не всі числа Мерсенна з простими показниками (відомо, що для складених показників число Мерсенна не може бути простим) є простими, був Худальрікус Регіус в 1536 році. Він показав, що при p = 11 число, що вийшло - це 2047 - виявляється складеним, оскільки подається у вигляді добутку 23 і 89.

У XVII столітті пошук простих чисел Мерсенна став досить популярною серед математиків розвагою. У 1640р. до вивчення цих чисел підключився знаменитий Пєр Ферма - він показав, що роботи його попередників, в яких затверджувалася простота чисел для p = 23 і p = 37, були помилкові. Але взагалі, Ферма не унікальний у своєму інтересі до цього предмету. В історії цих чисел відзначилися багато відомих учених: Ейлер, Паскаль, Галілео, Гюйгенс. Імя ж своє числа Мерсенна отримали на честь французького ченця Марена Мерсенна, філософа, теолога і математика. Він натрапив на ці числа в пошуках універсальної формули, яка дозволяла б перераховувати всі прості числа. У 1648 році він випустив працю Cogitata Physica-Mathematica, в якій висловив припущення, що числа виду -1 повинні бути простими для показників 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257 і складеними для всіх інших цілих чисел, що не перевищують 257. Звідки взялася така гіпотеза, достовірно невідомо - сучасники вагаються, що Мерсенн міг розібрати всі ці випадки вручну, та й він сам, кажуть, це визнавав. Втім, ця гіпотеза стала популярною вже після смерті автора. Так часто буває з деякими математичними твердженнями - по абсолютно незрозумілій причині вони опиняються в центрі уваги безлічі математиків. Можливо, на руку їй зіграла, як і у випадку з легендарною теоремою Ферма, простота формулювання. Як би там не було, але з рядом Мерсенна вчені розібралися тільки в середині XX століття - тоді вони встановили, що список показників, які дають прості числа Мерсенна і не перевищуючих 257, виглядає наступним чином: 2, 3, 5, 7, 13, 17 , 19, 31, 61, 89, 107 і 127. Це і є перші 12 простих чисел Мерсенна. До речі, простоту числа Мерсенна для показника 61 (воно дорівнює 2 305 843 009 213 693 951) довів російський математик Іван Первушин в 1878 році.

Марен Мерсенн протягом першої половини XVII століття був по суті координатором наукового життя Європи, ведучи активну переписку практично з усіма видатними вченими того часу. Це листування має величезну наукову та історичну цінність. Мерсенн має також серйозні особисті наукові заслуги в галузі математики, акустики та теорії музики.