1. Функція . Теорема Ейлера

Функція - функція, яка визначає кількість простих чисел на деякому проміжку.

Теорема Ейлера. При зростанні х до відношення прямує до нуля

Справді, з нерівностей (4) дістаємо

А звідси, оскільки

У першій сотні натуральних чисел міститься 25 простих чисел, тобто прості числа становлять 25%. У першій тисячі натуральних чисел є 169 простих чисел (16,9%); серед перших десяти тисяч натуральних чисел є 1229 простих чисел (12,29%); серед перших ста тисяч натуральних чисел 9522 простих числа (9,592%). Таблиці простих чисел показують, що при зростанні х процент простих чисел на відрізку [1, х] зменшується. Проте цей факт сам по собі не виключає того, що при як завгодно великому х прості числа, що належать відрізку [1, х], все-таки становлять не менш ніж, наприклад, 0,0000001% від числа всіх натуральних чисел відрізка [1, х]. Теорема Ейлера свідчить про те, що цього не може бути: при зростанні х до «середня щільність» простих чисел на відрізок [1, х] стає меншою від будь-якого числа > 0.

натуральний число теорема проміжок