3. Таблиці Гаусса

Ми вже знаємо, що перший десяток вміщує в собі чотири простих числа (2, 3, 5, 7). В першій сотні міститься 25 простих чисел. Для визначення цієї кількості Гаусс ввів відому нам наступну функцію . Символ, який використовується в цій формулі, більш відоме як число пі, але в даному контексті він не має цього математичного змісту. Потім Гаусс побудував таблицю з двома стовпчиками. В лівому він записав степені числа 10, а в правому - значення функції .

Зрозуміло, що число буде збільшуватися, але як саме, ми не знаємо. Додамо до таблиці ще один стовпчик, що показує частку простих чисел, менших заданого числа. Для цього вирахуємо відношення .

Ми знаємо, що є 168 простих чисел, менших 1000. Їх частку становить

Це число говорить нам, що 16,8% чисел між 1 і 1000 є простими. Інші 83,2% являють собою складені числа. Додамо цей третій стовпчик в таблицю.

Ми бачимо, що доля простих чисел зменшується. Це важливий, хоч і досить передбачуваний факт. Число є простим, коли воно не ділиться на жодне число з тих, які підуть перед ним. Наприклад, щоб число 11 було простим, воно не повинно ділитися ні на 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ні на 10. Але Гаусс, звичайно, не думав, що звідси випливає, що прості числа в кінці кінців, закінчаться, так як прекрасно знав про існування основної теореми алгебри, за допомогою якої Евклід довів, що кількість простих чисел нескінченна.

У Гаусса третій стовпчик таблиці містив не значення , а обернені їм .

На цій таблиці видно, що, наприклад, серед перших ста чисел одне із чотирьох - просте, а в першій тисячі - одне із шести, і так далі. Це звичайно приблизна оцінка. Таблиця не гарантує, що серед першої сотні кожне четверте число - просте, що можна легко перевірити за допомогою решета Ератосфена. Таким чином, наведена вище таблиця лише вказує приблизну вірогідну відстань між простими числами.