2. Асимптотичний закон розподілу простих чисел

Нерівності Чебишова вперше дали змогу судити про характер зростання функції р(х) при зростанні х. Результати Чебишова в дослідженні функції р(х) привели математиків до висновку, що при х> відношення р(х) : прямує до 1. Як зазначалось вище, Чебишов довів, що коли при х> границя відношення р(х) : існує, то вона дорівнює 1. Проте довести існування цієї границі Чебишов не зміг. У 1881 р. англійському математикові Сільвестру вдалося вмістити відношення р(х) : у більш тісні межі:

0,95695 < р(х) : < 1,04423

А в 1896 р. французький математик Адамар і бельгійський математик Валле Пуссен за допомогою апарата теорії функцій комплексної змінної незалежно один від одного довели існування границі відношення р(х) : . Таким чином, було доведено, що

Якщо при х > відношення додатних функцій f(x) і g(x), визначених для дійсних додатних значень х, прямує до 1, тобто то функції f(x) і g(x) називають асимптотично рівними і записують f(x) g(x).

Отже, р(х) .

Теорему про те, що називають асимптотичним законом розподілу простих чисел. Адамар і Валле Пуссен, власне, довели, що

р(х)

Дослідження Рімана, Адамаре і Валле Пуссена показали, що за величиною абсолютної похибки функція дає більш точне наближення до р(х), ніж .

Із встановленням асимптотичного закону розподілу простих чисел дослідження характеру зростання функції р(х) не припинилися. Дальші зусилля математиків були спрямовані на якомога точнішу оцінку модуля різниці між р(х) і істотних результатів в цьому напрямку досягли радянські математики М. Г. Чудаков, І. М. Виноградов, М. М. Коробов.

Вище ми зазначали, що при доведенні асимптотичного закону розподілу простих чисел Адамар і Валле Пуссен використовували зовнішні для теорії чисел методи теорії функцій комплексної змінної. Сам же асимптотичний закон належить виключно до натуральних чисел. Тому математикам здавалося природним шукати таке доведення цього закону, в якому не використовувалися б сторонні для теорії чисел ідеї. Пошуки такого доведення успішно закінчилися порівняно недавно: у 1949 р. норвезький математик А. Сальберг і угорський математик II. Ердеш опублікували доведення асимптотичного закону, в якому вони оперували тільки з натуральними числами.