8. Дружба чисел

Два натуральних числа m і n називаються дружніми, якщо сума власних дільників m дорівнює n, а сума власних дільників n дорівнює m. Історія дружніх чисел губиться в глибині століть. За свідченням античного філософа Ямвлиха (III - IV ст.), Великий Піфагор на питання, кого слід вважати своїм другом, відповів: «Того, хто є моїм другим я, як числа 220 і 284».

У 1747-1750 рр.. Леонард Ейлер провів унікальні числові розкопки. Він придумав оригінальні методи пошуку і виявив відразу 61 нову пару дружніх чисел. Примітно, що серед них опинилися і не парні числа: 69 615 і 11498355; 87633 і 12024045. Зараз відомо близько 1100 пар дружніх чисел. Цікаво, що в 1866 р. італійський школяр Н. Паганіні знайшов пару дружніх чисел 1184 і 1210, яку всі, в тому числі і видатні математики, прогледіли.

Ось пари дружніх чисел в межі 100 000:

220 - 284; 1184 - 1210; 2620 - 2924; 5020 - 5564; 6232 - 6368; 10744 - 10856

12285 - 14595; 17296 - 18416; 63020 - 76084; 66928 - 66992; 67095 - 71145; 69615 - 87633; 79750 - 88730.

Дружні числа продовжують приховувати безліч таємниць. Чи є змішані пари, у яких одне число парне, а інше не парне? Чи існує загальна формула, що описує всі дружні пари? На ці та інші питання відповіді поки не знайдені.

З досвіду обчислення люди знали, що кожне число є або простим, або добутком декількох простих чисел. Але вони не вміли цього доводити. Піфагор або хтось із його послідовників знайшов доказ цього твердження.

Тепер легко пояснити роль простих чисел в математиці: вони є тими цеглинками, з яких за допомогою множення будують всі інші числа. Добре було б, якщо всі прості числа можна було порахувати. Хай їх було б хоч мільйон - все одно ми знали б, що, перемноживши ці прості числа, можемо отримати всі інші. Але це виявилося не так. Через два століття після Піфагора грецький геометр Евклід написав книгу «Начала». І одним із тверджень цієї книги було наступне: найбільшого простого числа не існує.

Прості числа в натуральному ряді чисел розташовані дуже химерно. Іноді між ними є тільки одне парне число (всі прості числа, крім числа 2, непарні). Такими близнюками (так їх кличуть у науці), є: 11 і 13, 17 і 19, 29 і 31. Досі невідомо, чи є найбільші близнюки чи ні. А іноді між сусідніми простими числами лежить прірва в мільйони і мільярди чисел. Першим глибокі результати про те, як розкидані прості числа серед інших натуральних чисел, отримав великий російський математик Пафнутій Львович Чебишев, засновник і керівник російських математичних досліджень в минулому столітті.