Уравнения свертки. Обобщенные функции

курсовая работа

Введение

Со времен Огюстена Коши понятие функции постоянно уточнялось и претерпевало все более широкие обобщения и расширения. Обобщенные функции являются крупнейшим достижение математики XX века. Обобщенные функции получают сейчас все более широкое распространение в различных разделах математики и физики.

Понятие обобщенной функции с одной стороны, дает возможность выразить в математически корректной форме такие идеализированные понятия, как плотность материальной точки (пространственная), плотность простого или двойного слоя, интенсивность мгновенного источника и т.д. С другой стороны, в понятии обобщенной функции находит отражение тот факт, что реально нельзя измерить значение физические величины в точке, а можно измерять лишь ее средние значения в достаточно малых окрестностях данной точки. Таким образом, понятие обобщенной функции учитывает эту двойственную природу измерений и потому служит адекватным аппаратом для описания распределений различных физических величин. В литературе обобщенные функции часто называют распределением.

В конце 20-х годов П. Дирак ввел так называемую -функцию, обладающую следующим свойством для , если - любая непрерывная функция, то . Конечно и самому Дираку было ясно, что с математической точки зрения это определение бессмысленно, что функция не есть функция, понимаемая в классическом смысле. У О. Хевисайда в его операционном исчислении функция выступает как результат применения оператора к единичной ступеньке. В середине 30-х годов С.Л. Соболев заложил основы теории обобщенных функций как линейных непрерывных функционалов над пространством достаточно «хороших» функций и успешно применял их в исследовании задачи Коши для уравнения гиперболического типа. В послевоенные годы Л. Шварц, опираясь на созданную школой Н. Бурбаки теорию линейных локально выпуклых топологических пространств дал систематическое изложение теории обобщенных функций в его знаменитой двухтомной монографии и указал на ряд важных ее применений.

Отдельные классы сингулярных обобщенных функций по существу рассматривались в пионерских работах С. Бохнера, Ж. Адамара и М. Рисса в связи с задачами «регуляризации» расходящихся рядов и интегралов.

И.М. Гельфанд и Г.Е. Шилов расширяют понятие обобщенной функции включая в рассмотрение целую шкалу пространств основных функций как бесконечно дифференцируемых, так и аналитических. В 50-е годы Н.Н. Боголюбов впервые показал фундаментальную роль обобщенной функции в описании процессов локального взаимодействия элементарных частиц и применил их для построения аксиоматической квантовой теории поля. В это же время методами теории обобщенных функции были установлены фундаментальные результаты для произвольных дифференциальных операторов с постоянными и аналитическими коэффициентами. Следует подчеркнуть, что обобщенные функции обладают рядом замечательных свойств и преимуществ, расширяющих возможности классического математического анализа. Например, любая обобщенная функция оказывается бесконечно дифференцируемой, т.е. сходящиеся ряды и последовательности их обобщенных функций можно почленно дифференцировать бесконечно число раз. Поэтому использование техники обобщенных функций существенной расширяет класс рассматриваемых задач и к тому же приводит к значительным упрощениям, формализуя элементарные операции.

Целью курсовой работы является исследование обобщенных функций и их применение на практике, в частности, на примере нахождения решения изгиба балки в математическом пакете Maple. Поставленная цель определила постановку следующих задач:

– анализ существующих видов обобщенных функций;

– изучение пространства обобщенных функций;

– решение уравнений в обобщенных функциях.

Курсовая работа состоит из двух глав. В первой главе рассматривается понятие обобщенных функций и их виды, пространство обобщенных функции, дифференциальные уравнения в них. Вторая глава посвящена операциям с обобщенными функциями, применение свертки к обобщенным функциям, исследование преобразований Лапласа и Фурье, этапам вычислений в пакете Maple с краткими сведениями о работе.

В заключении приводится пример нахождения решения уравнения изгиба балки с применением обобщенных функций в математическом пакете Maple.

Делись добром ;)