2.1 Свертка обобщенных функций

Пусть и - интегрируемые на любом конечном интервале функции. Свертка функций и определяется соотношением:

,

если только интеграл существует и интегрируем по любому конечному интервалу переменной . Равенство двух интегралов легко проверить, сделав замену .

Если , - регулярные обобщенные функции и , то можно записать:

Произведение и можно рассматривать как прямое произведение , так что:

.

Это соотношение определяет свертку обобщенных функций , в том числе и сингулярные обобщенные функции.

Свертка обобщенных функций имеет следующие свойства:

- ;

- ;

- ;

- если , то

(14)

Доказательство последнего соотношения. Действительно, для

или

Примеры:

- ;

- .