1.4 Свойства обобщенных производных

- Операция дифференцирования линейна и непрерывна из в :

в , если в ;

- каждая обобщенная функция бесконечно дифференцируема. Действительно, если , то ; в свою очередь и т.д.;

- результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Например, ;

- если и , то справедлива формула Лейбница дифференцирования произведения . Например, ;

- если обобщенная функция , то ;

- если ряд , составленный из локально интегрируемых функций , сходится равномерно на каждом компакте, то его можно почленно дифференцировать любое число раз (как обобщенную функцию), и полученные ряды будут сходится в .

Пример. Пусть

Функция называется функцией Хевисайда или единичной функцией. Она локально интегрируема и потому может рассматриваться как обобщенная функция. Можно найти ее производную. Согласно определению, , т.е. .