2.3 Преобразование Фурье обобщенных функций

Пусть основное пространство состоит из бесконечно дифференцируемых комплекснозначных функций действительного переменного , равных нулю вне некоторого конечного интервала. Преобразование Фурье функции определяется соотношением: .

Если рассматривать как комплексную переменную , то

и - бесконечно дифференцируемая функция (аналитическая) во всей комплексной плоскости. Интегрируя по частям, получится:

.

В общем случае можно записать:

.

Далее, если - дифференциальный полином с постоянными коэффициентами , то .

Определение. Преобразование Фурье обобщенной функции называется обобщенная функция , определяемая соотношением:

,

которое для регулярных функций называется равенством Парсеваля.

Свойства преобразования Фурье:

- ;

- ;

- ,

где - оператор, обратный , удовлетворяющий соотношению

;

- ;

- .

Преобразование Фурье от некоторых обобщенных функций:

- ;

- ;

- ;

- ;

- .

Пример. Найти преобразование Фурье обобщенной функции Дирака. По определению:

.