1.3 Дифференциальные уравнения в обобщенных функциях

Пусть существует уравнение . Если - обычная функция, то ее решение есть первообразная, то есть . Пусть теперь - обобщенная функция.

Определение. Обобщенная функция называется первообразной обобщенной функцией , если . Если - сингулярная обобщенная функция, то возможны случаи, когда ее первообразная - регулярная обобщенная функция. Например, первообразная является ; первообразная является функция , а решение уравнения можно записать в виде: , где .

Есть линейное уравнение -го порядка с постоянными коэффициентами

, (8)

где - обобщенная функция. Пусть - дифференциальный полином -го порядка.

Определение. Обобщенным решением дифференциального уравнения (8) называется обобщенная функция , для которой выполняется соотношение:

.

Если - непрерывная функция, тогда единственным решением уравнения (8) является классическое решение.

Определение. Фундаментальным решением уравнения (8) называется любая обобщенная функция такая, что .

Функция Грина - фундаментальное решение, удовлетворяющее граничному, начальному или асимптотическому условию.

Теорема. Решение уравнения (8) существует и имеет вид:

, (9)

если только свертка определена.

Доказательство. Действительно, . По свойству свертки следует: .

Пример: .

Нетрудно увидеть, что фундаментальным решением этого уравнения является , так как

(10)

и

. (11)

Поэтому

. (12)