1.5 Обобщенные функция , отвечающие квадратичным формам с комплексными коэффициентами

До сих пор рассматривались исключительно квадратичные формы с вещественными коэффициентами. В этом пункте исследуется пространство всех квадратичных форм с комплексными коэффициентами.

Задачей является определение обобщенной функции , где - комплексное число. Однако в общем случае не будет однозначной аналитической функцией от . Поэтому в пространстве всех квадратичных форм выделяют «верхнюю полуплоскость» квадратичных форм с положительно определенной мнимой частью и определяют для них функцию . А именно, если квадратичная форма принадлежит этой «полуплоскости», то пологается , где . Такая функция является однозначной аналитической функцией от .

Можно сопоставить теперь функции обобщенную функцию :

, (13)

где интегрирование ведется по всему пространству. Интеграл (13) сходится при и является в этой полуплоскости аналитической функцией от . Продолжая аналитически эту функцию, определяется функционал для других значений .

Для квадратичных форм с положительно определенной мнимой частью находятся особые точки функций и вычисляются вычеты этих функций в особых точках.

Обобщенная функция аналитически зависит не только от , но и от коэффициентов квадратичной формы . Тем самым, является аналитической функцией в верхней «полуплоскости» всех квадратичных форм вида , где есть положительно определенная форма. Следовательно, однозначно определяется своими значениями на «мнимой полуоси», т. е. на множестве квадратичных форм вида , где - положительно определенная форма.