2.2 Преобразование Лапласа обобщенных функций

Пусть - обобщенная функция из . Если имеет компактный носитель, то есть , то, выражение имеет смысл для любого и представляет собой целую аналитическую функцию. Она называется преобразованием Лапласа обобщенной функции и обозначается .

Определение. Комплекснозначная функция действительного переменного называется оригиналом, если:

- для ;

- - кусочно-дифференцируема;

- .

Тогда функция называется преобразованием Лапласа функции . Функция бесконечно дифференцируема в полуплоскости и для нее справедливо следующее соотношение:

.

Если , то , где - скачок функции в начале координат. Обратное преобразование Лапласа равно .

Приведем преобразование Лапласа некоторых функций:

- ;

- ;

- ;

- .

Определение. Преобразование Лапласа обобщенной функции определяется соотношением: .

Свойства:

- ;

- ;

- .

В данном случае производные нужно рассматривать как производные обобщенных функций.

Заметно, что:

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- тогда .

Можно найти преобразование Лапласа свертки обобщенных функций и :

.

Получается: . Так как то . Также можно написать

.

Преобразование Лапласа часто используемых обобщенных функций:

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- ;

- ,

где функция Бесселя нулевого порядка.