1.2 Пространство обобщенных функций

обобщенный функция преобразование фурье

Совокупность обобщенных функций, порождаемых основным пространством , образует пространство . Рассмотрим подпространство обобщенных функций пространства , состоящее их обобщенных функций, равных нулю вне некоторого конечного интервала принадлежащего . Применим в этом пространстве операцию умножения двух функций в виде свертки этих функций. Если , то и Кроме того свертка обладает всеми свойствами обычной операции умножения. Роль единицы в играет функция , так как для .

Пусть существует такая что тогда называется обратной обобщенной функцией . Пространство с введенной операцией умножения образует алгебру (коммутативную) со сверткой.

Пусть существует алгебра со сверткой . Обобщенная функция , так как она равна нулю всюду, кроме точки ноль. Обобщенная функция сосредоточена вначале координат, поэтому Далее,

поэтому

Теорема. Пусть для существуют обратные функции и , тогда свертка имеет обратную функцию вида .

Действительно, .

Есть определенное в уравнение в свертках . Свертка существует для любой обобщенной функции , так как .

Следовательно, является фундаментальным решением уравнения . В частности, фундаментальное решение уравнения с оператором принадлежит алгебре со сверткой . Следовательно,

. (3)

Существует операционный метод решения уравнения в свертках. Пусть имеется уравнение:

, (4)

где . Среди эффективных методов решения этого уравнения возьмем метод преобразования Лапласа. Применяя преобразование Лапласа к левой и правой части этого уравнения, получается:

. (5)

Отсюда следует: .

Если для функции существует оригинал, принадлежащий , то он и является искомым решением. В качестве примера можно рассмотреть уравнение . С помощью преобразования Лапласа, следует: .

Следовательно,

. (6)

Поэтому

.(7)

Существуют регулярные и сингулярные обобщенные функции. Обобщенные функции, определяемые локально интегрируемыми в функциями по формуле , называются регулярными обобщенными функциями. Остальные обобщенные функции называются сингулярными обобщенными функциями.

Производные обобщенной функции: пусть . Тогда при всех справедлива формула интегрирования по частям: . Это равенство будет (обобщенной) производной обобщенной функции : . В частности, при данное равенство принимает вид: .

Первообразная обобщенной функции: пусть n=1. Всякая непрерывная функция имеет (единственную с точностью до аддитивной постоянной) первообразную: . Обобщенная функция из называется первообразной обобщенной функции из , если , т.е. .

Обобщенные функции не имеют значений в отдельных точках. Тем не менее, можно говорить об обращении в нуль обобщенной функции в области.

Говорят, что обобщенная функция равна нулю в области , если для всех . Этот факт будем записывать так: или . В соответствии с этим определением обобщенные функции и называются равными в области , если , при этом: . В частности, обобщенные функции и называются равными , если для всех .

Пусть обобщенная функция равна нулю в области . Тогда она, очевидно, равна нулю и в окрестности каждой точки этой области. Справедливо и обратное.