1.3.1. Постановка задачи. Алгоритм метода

Р

(1.24)

в области D={0≤x≤L, 0≤t≤T} с начальными условиями

и граничными условиями

Будем предполагать, что f(x), g(x) – достаточно гладкие функции, причем выполнены условия согласования в двух углах области D(x=0, t=0), (x=L, t=0), обеспечивающие существованне и единственность решения u(x, t).

Для дискретизации исходной задачи построим в области

прямоугольную сетку

где h – шаг сетки в направлении х, τ – шаг сетки в направлении t,

Используя для аппроксимации частных производных центральные разности второго порядка (1.10), для каждого внутреннего узла сетки получим систему разностных уравнений

которые аппроксимируют волновое уравнение (1.24) в узле (х_i, t_k) с погрешностью O(h² + τ²).

Здесь u_i,k – приближенное значение функции и(х, t) в узле (x_i, t_k).

Полагая λ = аτ/h, получим трехслойную разностнуюсхему:

Схема (1.28) называется трехслойной потому, что связывает между собой значения u_i,k функции и(х, t) на трех временных слоях с номерами (k-l), k, (k+1).

Разностной схеме (1.28) соответствует пятиточечный трехслойный шаблон типа «крест» (рис. 1.2).

Рис. 1.2

С

(1.29)

Для производной по времени применяем аппроксимацию (1.5)

(1.30)

отсюда

(1.31)

Порядок аппроксимации (1.30) равен О(τ).

Заметим, что (1.29), (1.31) дают решения для первых двух строк: k=0, k=1. Подставляя k=1 в (1.28), получим:

Все слагаемые в правой части уравнения (1.32) включают значения и_i,k только из первых двух строк сетки; но ведь все эти значения известны из начальных условий.

После этого, зная решения и_i,1 , и_i,2 , можно по (1.28) вычислить значения функции и_i,k на третьем временном слое, четвертом и т. д.

Описанная выше схема вычислений (1.28) – (1.31) aппpoксимирует задачу (1.24) – (1.26) с точностью О(τ+h²). Невысокий порядок аппроксимации по τ объясняется использованием слишком грубой аппроксимации для производной по t в формуле (1. 30).

Рассмотрим теперь вопросы сходимости и устойчивости. Не приводя здесь доказательств, ограничимся формулировкой окончательных результатов. Схема вычислений будет устойчивой, если выполняется условие Куранта

τ

(1.33)

Это означает, что при выполнении (1.33) малые погрешности, возникающие, например, при вычислении на первом слое, не будут неограниченно возрастать при переходе к каждому новому временному слою. При выполнении условия Куранта разностная схема (1.28) обладает равномерной сходимостью, т. е. при h→0 и τ→0 решение разностной задачи (1.28) – (1.31) равномерно стремится к решению исходной задачи (1.24) – (1.26).

Условие (1.33) является достаточным для сходимости, но не является необходимым. Другими словами, существуют уравнения и величины интервалов, для которых (1.33) не выполняется, но все же получается правильный результат. Все дело в том, что тогда нельзя гарантировать сходимость. В общем случае, конечно, желательно обеспечить сходимость наверняка, и поэтому требование соблюдения условия (1.33) обязательно.

Таким образом, как только выбрана величина шага h в направлении х, то появляется ограничение на величину шага τ по времени. Отличительная особенность всех явных методов заключается в том, что при их использовании должно соблюдаться некоторое условие типа (1.33), обеспечивающее сходимость и устойчивость метода.