1.4.1. Построение разностной схемы

Рассмотрим численные методы решения, которые применимы к уравнениям эллиптического типа. Однако, чтобы не загромождать изложение, ограничим детальное обсуждение случаем двумерного уравнения Лапласа в прямоугольной области.

Поставим следующую задачу. Найти непрерывную функцию u(x,y), удовлетворяющую внутри прямоугольной области D = {(x,y) | 0 ≤ х ≤ а, 0 ≤ у ≤ b} уравнению Лапласа

(1.34)

и принимающую на границе области D следующие значения:

где f₁, f₂, f₃, f₄ – заданные функции, удовлетворяющие условию непрерывности и(х, у) на границе области D, т. е.

Так, поставленная задача называется задачей Дирихле или первой краевой задачей для уравнения Лапласа (1.34). Предположим, что и(х,у) имеет непрерывные производные по х и у до 4-го порядка включительно.

Заменим область D сеточной областью. Для этого, выбрав шаги h и l по х и у соответственно, строим сетку

где n = а/h, m = b/l, х_n = nh = а, у_т = ml = b.

Введем обозначения и_i,k = u(x_i, y_k). Заменим во внутренних узлах сетки производные в (1.34) разностными отношениями второго порядка:

Подставляя эти соотношения в (1.34), отбросив погрешность аппроксимации производных, получим разностные уравнения для неизвестных и_i,k:

(1.36)

Погрешность замены дифференциального уравнения (1.34) разностным (1.36) составляет величину O(h² + l²).

Если теперь обозначить λ= l/h, то разностные уравнения (1.36) можно переписать в виде:

(1.37)

для

Уравнение (1.37) можно представить схематически, начертив пять узлов и обозначив около каждого из них соответствующий коэффициент. В результате получим пятиточечный трехслойный шаблон (Рис. 1.3), геометрически иллюстрирующий разностную аппроксимацию дифференциального уравнения.

Рис. 1.3

Заметим, что переменные u_0,k, u_n,k (k = 0, т) u_i,0, и_i,n (i = 0, n), соответствующие точкам сетки, лежащим на сторонах квадрата области D, определяются из граничных условий (1.35):

(1.38)

Система уравнений (1.37) – (1.38) – это разностная схема непрерывной задачи (1.34) – (1.35). Решения и_i,k этой разностной схемы есть приближения к точному решению и(х_i, у_k) в узлах (x_i, y_k).