1.4.2 Принцип максимума. Оценка погрешностей и сходимость решений разностных уравнений

Важным фактом разностных уравнений (1.37) является теорема, которая называется принципом максимума.

Теорема (принцип максимума).

Каждое решение разностного уравнения (1.37) принимает свое наибольшее и наименьшее значение в некоторых точках границы области D.

Доказательство этой теоремы дано в книгах. В силу принципа максимума для значений искомой функции должны быть выполнены неравенства

M ≤ u_i,k ≤ M,

г

(1.39)

Оценка погрешности (1.39) справедлива, если точное решение четырежды непрерывно дифференцируемо в области D. Для области с угловыми точками, например, прямоугольника, вообще говоря, u(х, у) не удовлетворяет этим условиям. Однако, если граничные функции, т. е. функции f₁(y), f₂(y), f₃(x), f₄(x) удовлетворяют в углах специальным условиям согласования, то оценка (1.39) является верной.

Для прямоугольной области D={0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b} такими условиями согласования могут быть:

1) достаточная гладкость функций f₁(y), f₂(y), f₃(x), f₄(x);

2) эти функции должны удовлетворять в углах прямоугольника дифференциальному уравнению.

Например, функция φ(х, y)=x²+y² удовлетворяет условиям согласования для уравнения

в углах D.

Оценка погрешности (1.39) имеет в основном теоретическое значение, поскольку ее практически трудно определить. Поэтому в реальных расчетах используется правило Рунге оценки погрешности, аналогичное тому, которое применяется в численном интегрировании и решении обыкновенных дифференциальных уравнений. Проводятся два варианта расчета: u_i,k(h) с шагом h и u_i,k(h/2) с шагом h/2. Тогда погрешность имеет вид

и главная часть погрешности определяется на совпадающих узлах.