1.2.2. Явная разностная схема. Проблема устойчивости

В основе конечно-разностного метода (метода сеток) лежит замена производных соответствующими конечно-разностными отношениями. Подставив вместо дu/дt и д²u/дt² их разностные аналоги (1.5) и (1.10), получим следующую конечно-разностную схему:

(1.15)

которую можно привести к виду:

i = 1, 2, … , (n-1), k = 0, 1 ,2 , … , где

(1.17)

Г

(1.18)

Из начального условия (1.13) имеем

Уравнения (1.16) называют явной разностной схемой. Совокупность узлов, привлекаемых для замены задачи (1.12) – (1.14), называют шаблоном. Разностной схеме (1.16) соответствует шаблон, который представлен на рис. 1.1.

Рис. 1.1

По формуле (1.16) можно вычислить значение искомой функции в узлах (k+1)-го временного слоя, если известны ее значения в узлах k-го слоя.

При k = 0, т. е. при t_k = 0, значения функции получаем из начальных условий (1.19):

По известным значениям решения на нулевом временном слое, т. е. по значениям u_i,0, формула (1.16) позволяет вычислить все значения и_i,1 (i = 1, 2 , … , n-1) на первом временном слое, затем (при k = 1) все значения и_i,2 (i = 1, 2 , … , n-1) на втором временном слое и т. д. при k = 3, 4, … , m.

В крайнем левом и правом узлах каждого слоя (i = 0, i = n) значения функции определяются из граничных условий (1.18):

Формула (1.16) позволяет в явном виде получать решение u_i,k,(i = l, n - 1, k = 1,m - 1), поэтому разностная схема (1.15) называется явной.

Какова же точность вычисленного приближенного решения? Строгий анализ этого вопроса представляет сложную проблему. Попытаемся получить некоторое представление о точности, рассмотрев два аспекта анализа погрешностей. Пусть u(x,t) – точное решение уравнения (1.12) с начальным (1.13) и граничными (1.14) условиями. Если подставить это точное решение в разностное уравнение (1.15), то оно удовлетворяется не полностью, а с некоторой погрешностью, называемой локальной погрешностью аппроксимации (дискретизации). Обозначая через r_ik (h) погрешность аппроксимации задачи (1.12) – (1.14) разностной схемой (1.15), с учетом погрешностей аппроксимации частных производных (1.6) и (1.11), имеем:

Обозначив

получим для оценки локальной погрешности аппроксимации следующее неравенство

(1.20)

Тот факт, что в выражение для локальной погрешности аппроксимации величина τ входит в первой степени, а h – во второй, обычно формулируют в виде утверждения, что конечно-разностный метод (1.16) имеет первый порядок точности по вpeмени и второй порядок точности по пространственной переменной, и записывается в виде

Запись О(h²) означает, что эта величина стремится к нулю при h→0, как h².

Однако было бы неправильно заключить из (1.21), что погрешность аппроксимации приближенного решения u_i,k полученная по формуле (1.16), стремится к нулю при стремлении к нулю τ и h. Такой вывод был бы необоснован, поскольку (1.20) дает оценку погрешности приближенного решения только для одного шага по времени. Доказательство того, что погрешность аппроксимации стремится к нулю на всем отрезке [0, Т], требует дополнительных данных о характере стремления к нулю τ и h. Соотношение (1.21), или в более общем случае утверждение о том, что при τ→0 и h→0 локальная погрешность аппроксимации стремится к нулю, является по существу необходимым условием стремления к нулю глобальной погрешности аппроксимации (погрешности приближенного решения и_ik и называется условием согласованности разностной схемы. То, что из согласованности разностного метода не обязательно следует сходимость приближенного решения к точному, связано с проблемой устойчивости разностных схем. Это следует из общего принципа, известного как теорема эквивалентности Лакса, который для весьма широкого класса дифференциальных уравнений и согласованных разностных схем утверждает, что глобальная погрешность аппроксимации (погрешность приближенного решения u_ik) будет стремиться к нулю в том и только в том случае, если используемый разностный метод устойчив.

Доказано, что явная разностная схема (1.15) устойчива при условии

(1.22)

поэтому она называется условно устойчивой.

Неравенство (1.22) называют условием устойчивости явной разностной схемы (1.15). Но это условие относится также и к вопросу о стремлении к нулю глобальной погрешности аппроксимации (погрешности аппроксимации приближенного решения) при стремлении к нулю h и τ.

При выполнении условий устойчивости разностные уравнения (1.16) при h→0 сходятся к точному решению краевой задачи со скоростью, определяемой порядком аппроксимации уравнения и краевых условий. Имеет место оценка:

где и(х_i, t_k) – точное решение краевой задачи.

Наименьшая погрешность замены дифференциального уравнения конечно-разностной схемой имеет место при λ = 1/6. В этом случае (1.16) примет вид