1.1.2. Аппроксимация частных производных

Первым этапом в численном решении дифференциальных ypaвнений с частными производными является переход от непрерывной задачи к дискретной. Дискретизация задачи – это основа численного метода.

Рассмотрим некоторые конечно-разностные аналоги частных производных от функции и по переменным х, у, t, подобно случаю обыкновенных дифференциальных уравнений, с учетом той особенности, что теперь имеются две независимые переменные. Начнем с того, что рассмотрим разности только в направлении х. Вспомним, что разложение Тейлора функции и(х + h, у) в окрестности точки (х, у) можно записать в виде

(1.4)

где ξ лежит между х и х + h.

Из последнего равенства получаем

Таким образом, если представить и_x с помощью равенства

то погрешность аппроксимации (дискретизации) или погрешность ограничения будет равна

где x<ξ<x+h.

В формуле (1.5) частная производная и_x выражена через правую конечную разность [u(x+h, у) – и(х, y)]. Выразим и_x через левую разность [u(x, y) - u(x-h, y)]. Для этого в разложение Тейлора вместо (х + h) подставим (х - h)

где (x - h)<ξ<x.

При этом получаем приближенное равенство

которое выполняется с погрешностью, равной:

где (х - Н)<ξ<х.

В последствии нам потребуются и правая (1.5) и левая (1.8) разности.

Теперь получим разностное приближение для u_xx=д²u/дx². Если и(х, у) имеет частные производные до четвертого порядка включительно, тогда разложение Тейлора функций и(х + h, y), u(х - h, y) в окрестности точки (х, y) можно записать в виде

где х < ξ < (х + h),

где (х - h) < ξ < х.

Сложив два последних равенства, получим

(1.10)

которое выполняется с точностью

где (х – h)<ξ<(х + h).

Здесь рассмотрены производные в направлении х. Совершенно аналогичный анализ можно провести для производных в направлении у и получить формулы, аналогичные формулам (1.4) – (1.11). Используя эти выражения, можно представить дифференциальные уравнения в частных производных (1.1) – (1.3) через конечно-разностное приближение (конечно-разностные схемы).