1.2.1. Постановка задачи

Рассмотрим смешанную задачу для однородного уравнения теплопроводности. Задача состоит в отыскании функции и(х, t), удовлетворяющей в области D = {(х, t)| 0 ≤ х ≤ L, 0 ≤ t ≤ Т)} уравнению

(1.12)

н

(1.13)

и

(1.14)

Краевые условия (1.13), (1.14) относятся к типу краевых условий первого рода.

Задача (1.12) – (1.14) называется смешанной, поскольку она содержит как начальное, так и граничные условия.

Будем считать, что задача (1.12) – (1.14) имеет единственное решение и(х, t), непрерывное вместе со своими производными

Построим в области D={(x, t)| 0≤x≤L, 0≤t≤T} прямоугольную равномерную сетку с шагом h в направлении х и шагом τ – в направлении t.

Обозначим узлы сетки через (x_i, t_k), i = 0, n, k = 0, m, a приближенные значения функции и(x_i, t_k) в этих узлах – через u_ik. Тогда x_i =ih, h=L/n, t_k = kτ, τ =t/m.