Булево кольцо.

Кольцо <R,+,•> называется булевым, если a₂=a для всех .

Утверждение: Булево кольцо коммутативно, и a+a=0 для всех элементов .

Доказательство: По определению булева кольца: a+a=(a+a)²=a²+a²+a²+a²=a+a+a+a. Отсюда a+a=0, т.е. a=-a. Также, a+b=(a+b)²=a²+ab+ba+b²=a+b+ab+ba. Отсюда ab+ba=0. Тогда ab=ab+(ba+ba)=(ab+ba)+ba=ba.

Единицей кольца R называется такой элемент e, что a•e=e•a=a, для всех .

Пусть - булева алгебра. Определим операции кольцевых сложения и умножения на β по следующим правилам: - соответствует кольцевой сумме множеств, - соответствует пересечению множеств.

Теорема: Система образует булево кольцо с единицей 1.

Тогда: , , .