Булевы алгебры. Теорема Стоуна. Принцип двойственности для булевых алгебр.

Дистрибутивная решетка α=<A,≤> называется булевой алгеброй, если α имеет нуль0, единицу 1, 0≠1 и для любого элемента х из А найдется элемент (дополнение х) такой, что , .

Утверждение: Если α=<A,≤> - булева алгебра, то для любого элемента х дополнение единственно.

Доказательство: Предположим, что элемент х имеет два дополнения y и z, т.е. . По закону дистрибутивности получим, что элементы также являются дополнениями х, т.е. . При этом из y≠z следует, что . Отсюда получаем, что подрешетка решетки α с носителем образует решетку Р₅, что противоречит дистрибутивности решетки α. Наше допущение неверно.

Свойства булевой алгебры:

1. Ассоциативность:

2. Коммутативность:

3. Идемпотентность:

4. Дистрибутивность:

5. Поглощение:

6. Законы де Моргана:

7. Законы нуля и единицы: 0=ø, 1=U

8. Закон двойного отрицания:

Теорема Стоуна: Любая конечная булева алгебра изоморфна некоторой алгебре Кантора ( )

Следствие: Любые две булевы алгебры, имеющие одинаковое число элементов, изоморфны. Число элементов конечной булевой алгебры равно 2ⁿ для некоторого .

Таким образом, конечная булева алгебра определяется однозначно с точностью до изоморфизма числом своих элементов.

Принцип двойственности для булевых алгебр: если в справедливом утверждении о булевых алгебрах, касающемся отношения ≤ и операций , всюду заменить на соответственно, то получится также справедливое утверждение, называемое двойственным к исходному.