Функции. Инъекции, сюръекции, биекции. Понятие последовательности.

Отношение называется функцией или отображением из множества А в множество В, если и из (x,y₁) є f, (x,y₂) є f следует y₁=y₂. Если вместо выполняется , то f называется частичной функцией. Функция f из А в В обозначается через или . Если (x,y) є f, то пишем y=f(x) или . Функция называется разнозначной инъективной (инъекцией) или 1-1 функцией если из условия, что выполняется х₁≠х₂, следует y₁≠y₂. Функция называется функцией из А на В или сюръекцией, если . Функция называется взаимно однозначным соответствием между множествами А и В или биекцией, если она инъективна и сюръективна одновременно.

Биекция называется подстановкой.

Утверждения:

1. Если , , то

2. Если , то

3. Если f и g - инъекции, то f•g – инъекция.

Доказательство: Предположим противное, т.е. найдутся элементы x₁, x₂, y такие, что х₁≠х₂, (x₁,y) є f•g и (x₂,y) є f•g, т.е. g(f(x₁))=y=g(f(x₂)). В силу разнозначности f имеем f(x₁)≠f(x₂). Отсюда в силу разнозначности g получаем g(f(x₁))≠g(f(x₂)), а это противоречит предположению.

4. Если f,g – сюръекции, то f•g – сюръекция

Доказательство: Нужно доказать, что для любого с существует а такое, что f•g(a)=c. Т.к. g – сюръекция, то существует b, для которого g(b)=c, а т.к. f – сюръекция, то для любого b существует а такое, что f(a)=b. Тогда f•g(a)=g(f(a))=c

5. Если f и g – биекции, то f•g – биекция

6. Если , то

Функция называется последовательностью. Её можно представить в виде f(0)=b₀, f(1)=b₁,…, f(n)=b_n.

4. Yandex.RTB R-A-252273-3
   Содержание

   • Множества. Основные операции над множествами и их свойства. Диаграммы Венна. Декартово произведение множеств.
   • Отношения и бинарные отношения, область определения, область значения, обратные отношения. Произведение отношений.
   • Функции. Инъекции, сюръекции, биекции. Понятие последовательности.
   • Множество натуральных чисел. Два подхода к определению множества натуральных чисел. Аксиомы Дедекинда-Пеано. Принцип математической индукции.
   • Понятие мощности множества. Сравнение мощностей. Теорема Кантора-Берштейна. Операции над кардинальными числами.
   • Конечные, счетные, континуальные множества. Мощность булеана.
   • Матрицы бинарных отношений и их свойства. Специальные бинарные отношения.
   • Отношения эквивалентности и разбиения. Фактор-множества. Матрица отношения эквивалентности.
   • Отношения порядка. Максимальные и минимальные, наибольший и наименьший элементы частично упорядоченного множества. Диаграммы Хассе. Линейно и вполне упорядоченные множества.
   • Алгебраические системы: определение и примеры. Понятие полугруппы, моноида, группы; задание с помощью таблицы Кэли.
   • Морфизмы алгебраических систем.
   • Подсистемы. Термы сигнатуры ∑. Подсистема, порожденная множеством, ее структура.
   • Конгруэнции, фактор-алгебры, теорема о гомоморфизме.
   • 17.Многообразия. Теорема Биркгофа.
   • Решетки. Дистрибутивные решетки. Критерий дистрибутивности.
   • Булевы алгебры. Теорема Стоуна. Принцип двойственности для булевых алгебр.
   • Булево кольцо.
   • 18. Алгебры отношений. Реляционные алгебры.
   • 27. Виды и способы задания графов.
   • 28. Подграфы и части графа. Операции над графами. N-Мерные кубы.
   • Объединение: .
   • 29. Маршруты, циклы, цепи. Достижимость и связность (матрицы достижимости, контрдостижимости, связности).
   • 30. Расстояние в графах. Центральные и периферийные вершины.
   • 31. Взвешенное расстояние. Алгоритм Форда-Беллмана.
   • 32. Степени вершин. Эйлеровы графы, циклы, цепи. Алгоритм построения эйлерова цикла.
   • 33. Гамильтоновы графы. Постановка задачи коммивояжера.
   • 34. Деревья, леса. Остовы графов. Цикломатическое число, коранг. Алгоритм построения остова минимального веса. Обходы графов по глубине и ширине.
   • 35. Упорядоченные и бинарные деревья. Соответствия между ними.
   • 36. Фундаментальные циклы, разрезы. Матрицы фундаментальных циклов, разрезов.
   • 37. Раскраска графов. Планарные графы.
   • 38. Формулы алгебры логики, их таблицы истинности.
   • 39. Булевы функции, способы их задания. Представления булевых функций формулами.
   • 40. Эквивалентность формул.
   • 41. Двухэлементная булева алгебра. Алгебра булевых функций. Фактор-алгебра алгебры формул.
   • 42. Дизъюнктивные и конъюнктивные нормальные формы. Алгоритм приведения формулы к днф и кнф.
   • 43. Теорема Шеннона. Теорема о функциональной полноте. Способы построения сднф и скнф.
   • 44. Импликанты, простые импликанты. Сокращенные, тупиковые, минимальные нормальные формы. Алгоритм Квайна построения мднф.
   • 45. Карты Карно. Построение мднф с помощью карт Карно.
   • 46. Принцип двойственности. Самодвойственные функции.
   • 47. Теорема Жегалкина. Способы построения полиномов Жегалкина. Линейные функции.
   • 48. Классы Поста. Полные системы булевых функций. Теорема Поста. Базисы.
   • 49. Логические сети. Реализация булевых функций контактными схемами и схемами из функциональных элементов.

   Yandex.RTB R-A-252273-4