7. Кривая задана как пересечение двух поверхностей:

а)

б)

в)

Написать уравнения касательной и нормальной плоскости к кривой точке .

Решение.

а) Зададим поверхности неявно:

Касательный вектор к кривой найдем как векторное произведение векторов

и

.

Они перпендикулярны своим поверхностям в любой их точке.

В точке координаты касательного вектора равны

.

Уравнения касательной к кривой в точке в параметрическом виде будут

Уравнение нормальной плоскости запишем в виде

, где – координаты вектора, перпендикулярного плоскости:

или .

б) Зададим поверхности неявно:

Аналогично предыдущему, вычисляем

,

,

.

В точке координаты касательного вектора равны . Он коллинеарен вектору .

Уравнения касательной к кривой в точке с направляющим вектором запишем в каноническом виде:

.

Уравнение нормальной плоскости к кривой в точке , перпендикулярной вектору , будет

,

или

.

в) Аналогично предыдущему:

, ,

Касательный вектор коллинеарен вектору .

Уравнения касательной к кривой в точке с направляющим вектором запишем в каноническом виде:

.

Уравнение нормальной плоскости к кривой в точке , перпендикулярной вектору , будет иметь вид

.