§6.Кинематический смысл кривизны и кручения

С каждой точкой М кривой в трехмерном пространстве связан вполне определенный сопровождающий трехгранник образованный единичными векторами касательной, главной нормали и бинормали, исходящими из этой точки кривой. Из построения сопровождающего трехгранника следует, что его ориентация в любой точке кривой совпадает с ориентацией трехмерного пространства. Следовательно, различные положения трехгранника можно рассматривать как перемещение твердого тела вдоль кривой.

Естественно выбрать наиболее простое движение по кривой – движение с постоянной по модулю скоростью, равной единице. В этом случае пройденный путь s равняется протекшему времени, то есть параметр s можно понимать как время.

Всякое перемещение твердого тела разложимо на два элементарных движения: а) параллельный перенос, когда все точки тела описывают равные векторы и б) поворот около неподвижной оси.

Выпишем основные уравнения теории кривых:

(6.1)

Скорость поступательного движения его вершины М в момент времени s равна последние три уравнения в (6.1) определяют линейные скорости точек, расположенных в концах единичных векторов

Пусть и - два произвольных вектора, закрепленных в точке M, причем вектор - единичный. Пусть вектор вращается вокруг вектора . Пусть - линейная скорость конца вектора . Тогда .

Следовательно, считая вектором угловой скорости, имеем

(6.2)

Пусть вектор , где . Подставляя это выражение в (6.2), получим

(6.3)

Сравнивая (6.1) и (6.3), получим

Следовательно, для вектора угловой скорости

.

Перепишем в более удобном для нас виде

. (6.4)

Итак, вектор угловой скорости разлагается на две компоненты - и . Первой из них соответствует вращение трехгранника в соприкасающейся плоскости вокруг бинормали с угловой скоростью , а второй из них – вращение в нормальной плоскости вокруг касательной с угловой скоростью .

В соответствии с этим представлением формулы Френе можно разбить на две группы формул:

В первом движении вектор бинормали постоянен. Во втором вращении постоянным является вектор касательной . Ось, на которой лежит вектор , является мгновенной осью вращения. Таким образом:

1. Главная нормаль – единственная прямая, по которой компоненты скорости вращения трехгранника Френе равны нулю.

2. Кривизна k - компонента скорости вращения вокруг бинормали.

3. Кручение равно с противоположным знаком компоненте скорости вращения вокруг касательной.

Если кривая плоская, то мы имеем мгновенное поступательное движение и мгновенное вращение, происходящие в плоскости кривой (соприкасающейся плоскости).