9. Кривая задана параметрическими уравнениями

.

Написать уравнение касательной прямой, нормальной плоскости, бинормали, главной нормали, соприкасающейся и спрямляющей плоскости в точке .

Решение.

Уравнения касательной прямой, бинормали и главной нормали к кривой в точке запишем в параметрическом виде

где – координаты точки кривой при , – координаты направляющих векторов соответствующих прямых.

Вычисляем:

Найдем координаты направляющих векторов касательной, главной нормали и бинормали кривой.

Радиус-вектор кривой , .

Вектор скорости .

Вектор ускорения .

В точке имеем , .

Вектор бинормали в точке

.

Вектор главной нормали в точке

Параметрическое уравнение касательной к кривой в точке

Уравнение бинормали в точке

Уравнение главной нормали в точке

Уравнения нормальной, соприкасающейся и спрямляющей плоскости к кривой в точке запишем в виде , где – координаты точки кривой при , – координаты векторов, перпендикулярных соответствующим плоскостям. Для нормальной плоскости – это вектор скорости, для соприкасающейся плоскости – это вектор бинормали, для спрямляющей плоскости – это вектор главной нормали.

Уравнением нормальной плоскости к кривой в точке будет уравнение

, т.е.

.

Уравнением соприкасающейся плоскости к кривой в точке будет уравнение

, т.е.

.

Уравнением спрямляющей плоскости к кривой в точке будет уравнение

, т.е.