Предисловие

Это учебное пособие предназначается студентам, аспирантам и преподавателям средних и высших педагогических и технических учебных заведений. В нем вводятся первоначальные понятия, определения и факты глубокой локальной теории линий на плоскости и в трехмерном пространстве.

Основой вводного курса в дифференциальную геометрию послужили лекции, прочитанные авторами на физико-математическом факультете Московского государственного областного университета.

Материал принадлежит к традиционному курсу и обычно следует за аналитической геометрией и топологией и предшествует теории поверхностей и дифференцируемых многообразий конечной и бесконечной размерности.

Дифференциальная геометрия изучает геометрические образы методами математического анализа. Прежде всего, изучаются свойства кривых и «в малом», то есть геометрические образы, содержащиеся в сколь угодно малых окрестностях пространства.

На первоначальных этапах своего развития дифференциальная геометрия почти неотделима от математического анализа. В семнадцатом веке были сделаны первые шаги в построении теории плоских кривых, однако исследование пространственных фигур с помощью исчисления бесконечно малых находилось лишь в зародыше.

Возникновение дифференциальной геометрии обусловлено потребностями естествознания и техники и относится к первой половине восемнадцатого века и связано с именами знаменитого математика Л. Эйлера (1707 – 1783) и крупного математика, инженера и деятеля французской буржуазной революции Г. Монжа (1746 – 1818). Первое сводное известное нам сочинение по теории поверхностей «Приложение анализа к геометрии» было написано Г. Монжем в 1795 году. В 1827 году Гаусс опубликовал работу «Общее исследование о кривых поверхностях», где ввел основные понятия теории линий и поверхностей в ее современном виде.

Открытие и исследование неевклидовых геометрий имело большое значение, в том числе и для дифференциальной геометрии. С другой стороны, моделирование двумерных неевклидовых геометрий в малом внутренней геометрией той или иной поверхности трехмерного пространства привело к доказательству непротиворечивости геометрий Н.И. Лобачевского и Б. Римана.

В 1954 году Б. Риман в своей знаменитой лекции «О гипотезах, лежащих в основании геометрии» заложил основы так называемой римановой геометрии, которая в применении к многомерным многообразиям находится в таком же отношении к геометрии n – мерного евклидова простран-

ства, как внутренняя геометрия поверхности к плоской евклидовой геометрии.

В России школу дифференциальной геометрии создали Ф.Г. Миндинг (1806 – 1885) и К.М. Петерсон (1828 – 1885). Далее следует отметить работы Д.Ф. Егорова (1869 – 1931), В.Ф. Кагана (1869 – 1953), В.В. Вагнера (1908 – 1981), С.П. Финикова, А.П. Нордена, П.А. Широкова, П.К. Рашевского и многих других российских геометров.

Авторский коллектив выражает благодарность и признательность Щуровой Альбине Николаевне, взявшей на себя нелегкий труд по компьютерному набору этого учебного пособия.