1. Доказать эквивалентность двух параметризованных кривых

и ,

заданных соответственно параметрическими уравнениями:

а)

б)

Решение.

а) Покажем, что существует гомеоморфизм при котором . Рассмотрим отображение , заданное формулой . Тогда

Отображение , где , осуществляет гомеоморфизм промежутка на промежуток , в частности, на .

Указание. Постройте график . Обратите внимание, что на промежутке .

б) Искомый гомеоморфизм задается формулой .

2. Кривая на плоскости задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Задать ее другими оставшимися способами. Выяснить расположение кривой на плоскости и нарисовать ее.

Решение задачи для кривой на плоскости, заданной параметрически.

В качестве примера кривой, заданной параметрически, рассмотрим кривую с радиус-вектором

(t)={a cos t, b sin t}, a, b , .

Заметим, что . Следовательно, кривая лежит на эллипсе с каноническим уравнением . С другой стороны, для любой точки эллипса с координатами существует такое , что . В качестве такого можно взять, например, для точек верхней полуплоскости , а для точек из нижней полуплоскости .

Итак, кривая является эллипсом. Ее неявное уравнение получается из канонического уравнения эллипса:

Эллипс можно представить как совокупность графиков двух функций

.

Решение задачи для кривой на плоскости, заданной неявно.

По теореме о неявной функции если кривая задана уравнением и в некоторой точке , то в окрестности этой точки кривую можно представить в виде графика функции . При этом производная функции в точке равна .