Тема 1. Способы задания поверхностей. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Практические задания

1. Содержание

   • Печатается по решению кафедры математического анализа и геометрии
   • Содержание
   • Предисловие
   • Введение
   • §1. Понятие кривой, ее гладкость и параметризации
   • §2. Касательная к кривой на плоскости и в пространстве. Угол между кривыми. Нормаль к кривой на плоскости и нормальная плоскость
   • §3. Сопровождающий трехгранник кривой (трехгранник Френе)
   • §4. Длина кривой. Естественная параметризация кривой.
   • §5. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой.
   • §6.Кинематический смысл кривизны и кручения
   • §7. Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации.
   • §8. Задачи с решениями.
   • 1. Доказать эквивалентность двух параметризованных кривых
   • 3. Кривая в пространстве задана одним из способов: параметрически или в виде пересечения поверхностей. Выяснить расположение кривой в пространстве и по возможности нарисовать ее.
   • 4. Кривая на плоскости задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.
   • 5. Найти угол между кривыми в точке их пересечения:
   • 6. Напишите уравнение касательной прямой и нормальной плоскости кривой , заданной параметрически в трехмерном пространстве, при :
   • 7. Кривая задана как пересечение двух поверхностей:
   • 8. Найти векторы канонического репера кривой
   • 9. Кривая задана параметрическими уравнениями
   • 10. Найти точки на кривой , в которых бинормаль параллельна плоскости .
   • 11. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости
   • 12. Даны параметрические уравнения двух кривых на плоскости или в пространстве, проходящих через общую точку. Определить порядок касания кривых в этой точке.
   • 14. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости или в пространстве. Записать кривую через натуральный параметр s. Выяснить длину вектора r’(s) и направление вектора r”(s).
   • 16. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости или в пространстве. Найти кривизну и кручение кривой, не переходя к натуральному параметру.
   • § 9. Задачи для самостоятельного решения.
   • § 10. Тестовая работа по дифференциальной геометрии кривых
   • Вариант ab.
   • § 11. Методические указания по изучению темы дифференциальная геометрия поверхностей в трехмерном пространстве.
   • Тема 1. Способы задания поверхностей. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
   • Поверхность в пространстве задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Задать ее другими оставшимися способами.
   • Поверхность в пространстве задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.
   • Тема 2. Касание поверхностей.
   • Даны параметрические уравнения поверхности. Найти какую-нибудь поверхность, имеющую с данной поверхностью в данной точке касание 1, 2, 3 порядка.
   • Даны параметрические уравнения двух поверхностей, проходящих через общую точку. Определить порядок касания поверхностей в этой точке.
   • Тема 3. Первая квадратичная форма поверхности.
   • Поверхность задана параметрически. Найти первую квадратичную форму поверхности.
   • С помощью первой квадратичной формы найти длину кривой на поверхности, угол между кривыми и площадь области на поверхности.
   • Тема 4. Вторая квадратичная форма поверхности. Полная и средняя кривизны поверхности.
   • Тема 5. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Гауссова и средняя кривизны поверхности.
   • § 12. Содержание курса Дифференциальная геометрия
   • 2. Теория кривых в евклидовом пространстве
   • 3. Теория поверхностей в евклидовом пространстве
   • Литература