§5. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой.

Пусть - гладкая кривая в пространстве (на плоскости ).

1. Рассмотрим касательный вектор , где s – натуральный параметр на кривой . Полагая в (4.3) t=s имеем , то есть вектор имеет единичную длину. Можно считать, что модуль вектора скорости относительно натурального параметра равен единице.

Вектор , , называется единичным вектором касательной.

2. Рассмотрим вектор . Он называется вектором кривизны кривой.

Выясним расположение вектора . Для этого воспользуемся традиционным для дифференциальной геометрии приемом: дифференцирование тождеств.

Рассмотрим тождество и продифференцируем его по s:

Это означает, что вектор кривизны перпендикулярен вектору касательной:

Замечание 5.1. Для любого вектора постоянной длины аналогично можно показать, что . (Проверьте.)

Для плоских кривых это означает, что является направляющим вектором нормали к кривой.

Для кривых в пространстве это означает, что вектор параллелен нормальной плоскости к кривой.

С другой стороны, вектор лежит в соприкасающейся плоскости (так как из замечания 3.1 следует, что соприкасающаяся плоскость параллельна векторам вне зависимости от выбора параметра на кривой). Следовательно, вектор является направляющим вектором главной нормали к кривой.

Найдем его длину .

Определение 5.1. Кривизной кривой в данной точке называется длина вектора кривизны в этой точке:

.

Рассмотрим вектор , .

Вектор , , называется единичным вектором нормали кривой в случае плоской кривой и единичным вектором главной нормали кривой в случае кривой в трехмерном пространстве.

Из определений кривизны и нормального вектора следует, что

. (5.1)

Мы определили кривизну кривой как функцию натурального параметра s. Можно считать, что кривизна – модуль вектора ускорения относительно натурального параметра.

Более наглядный смысл имеет следующее определение.

Определение 5.2. Пусть - гладкая кривая в пространстве . Пусть и М – две произвольные точки кривой. Рассмотрим касательные к кривой в точках и М. Обозначим через угол между касательными, а - длину кривой от М до .

Кривизной кривой в данной точке называется предел отношения

при стремлении :

.

Теорема 5.1. Определения 5.1 и 5.2 кривизны кривой эквивалентны.

Определение 5.3. Радиусом кривизны кривой в данной точке называется величина, обратная кривизне кривой в этой точке:

, если и , если

Следствие 5.1. Кривизна и радиус кривизны кривой являются геометрическими свойствами кривой и не зависят от выбора параметризации кривой.

Теорема 5.2. Для того чтобы гладкая кривая была прямой, отрезком или лучом необходимо и достаточно, чтобы кривизна равнялось нулю в каждой точке этой кривой.

Следствие 5.2. Кривизна кривой является мерой отклонения кривой от ее касательной.

Пример. Кривизна дуги окружности радиуса R во всех точках равна (Проверьте.)

3. Для кривых в трехмерном пространстве рассмотрим вектор .

Он имеет единичную длину как векторное произведение взаимно ортогональных единичных векторов .

Вектор , , называется единичным вектором бинормали кривой.

4. Пусть кривая плоская. Тогда к каждой ее точке М можно присоединить два взаимно перпендикулярных единичных вектора .

Совокупность М , называется репером Френе плоской кривой.

Зависимость векторов от векторов описывается формулами Френе для плоской кривой.

Пусть кривая не плоская. Тогда к каждой ее точке М можно присоединить три взаимно перпендикулярных единичных вектора .

Совокупность М, также называется репером Френе для кривой в трехмерном пространстве.

Зависимость векторов от векторов описывается формулами Френе для кривой в пространстве.

При перемещении точки М по кривой перемещается и репер Френе, поэтому его часто называют подвижным репером.

Вместе с репером Френе по кривой перемещается сопровождающий трехгранник Френе. Напомним, что совокупность М, определяет соприкасающуюся плоскость, совокупность М, - нормальную плоскость, а совокупность М , - спрямляющую плоскость.

Рисунок 13.

5. Выведем формулы Френе для плоской кривой .

Первая из формул Френе нами уже получена. Это формула (5.1):

.

Найдем вектор .

В силу замечания 5.1 вектор . Для векторов на плоскости это означает коллинеарность векторов и :

.

Найдем коэффициент пропорциональности .

Рассмотрим тождество

и продифференцируем его по параметру s:

Подставим и :

,

Теорема 5.3. Формулы Френе для кривых на плоскости.

Пусть - гладкая кривая на плоскости и r (s) - ее естественная параметризация.

Пусть - единичные векторы касательной и нормали.

Тогда

(5.2)

Следствие 5.3. .

6. Выведем формулы Френе для кривой в трехмерном пространстве.

Первая из формул Френе - это та же формула (5.1):

.

Найдем векторы и .

В силу замечания 5.1 векторы , . Для векторов трехмерного пространства это означает компланарность векторов и спрямляющей и соприкасающейся плоскостям соответственно:

, где

Найдем коэффициенты

Рассмотрим знакомое тождество

и продифференцируем его по параметру s:

Подставим и :

,

Мы получили .

Рассмотрим тождество

и также продифференцируем его по параметру s:

.

Подставим и :

,

,

.

Итак,

Переобозначим коэффициент через .

Определение 5.4. Кручением кривой в данной точке называется длина вектора , где - единичный вектор бинормали кривой, s - натуральный параметр на кривой:

.

Мы определили кручение кривой как функцию натурального параметра s. Более наглядный смысл имеет следующее определение.

Определение 5.5. Пусть - гладкая кривая в пространстве . Пусть и М – две произвольные точки кривой. Рассмотрим соприкасающиеся плоскости к кривой в точках и М и соответствующие нормали к ним (бинормали к кривой в точках и М ). Обозначим через угол между бинормалями, а - длину кривой от М до .

Кручением кривой в данной точке называется предел отношения

при стремлении :

.

Теорема 5.4. Определения 5.4 и 5.5 кривизны кривой эквивалентны.

Следствие 5.4. Кручение кривой является геометрическим свойствами кривой и не зависит от выбора параметризации кривой.

Теорема 5.5. Формулы Френе для кривых в трехмерном пространстве.

Пусть - гладкая кривая в трехмерном пространстве и r (s) - ее естественная параметризация.

Пусть - единичные векторы касательной, нормали и бинормали.

Тогда

(5.3)

Следствие 5.4. .

Теорема 5.6. Для того чтобы гладкая кривая была плоской необходимо и достаточно, чтобы кручение равнялось нулю в каждой точке этой кривой.

Следствие 5.6. Кручение кривой является мерой отклонения кривой от соприкасающейся плоскости.

7. Выпишем выражения кривизны и кручения кривой через радиус-вектор кривой , где s – натуральный параметр на кривой, и его производные.

Для кривизны:

. (5.4)

Выпишем первую формулу Френе (5.1) и продифференцируем ее по параметру s:

,

.

Подставляя вторую формулу Френе, получим

Вычислим также векторное произведение

.

Найдем смешанное произведение

Следовательно, для кручения

(5.5)

Теорема 5.7. Пусть и - любые гладкие функции, причем, Тогда существует и притом единственная с точностью до движения пространства гладкая кривая, для которой является кривизной, а - кручением в точке, соответствующей натуральному параметру s.

Определение 5.6. Систему равенств называют натуральными уравнениями кривой.

Из теоремы 5.7 следует, что натуральные уравнения кривой определяют кривую с точностью до движения пространства.