§8. Задачи с решениями.

Содержание

• Печатается по решению кафедры математического анализа и геометрии
• Содержание
• Предисловие
• Введение
• §1. Понятие кривой, ее гладкость и параметризации
• §2. Касательная к кривой на плоскости и в пространстве. Угол между кривыми. Нормаль к кривой на плоскости и нормальная плоскость
• §3. Сопровождающий трехгранник кривой (трехгранник Френе)
• §4. Длина кривой. Естественная параметризация кривой.
• §5. Формулы Френе. Кривизна и кручение кривой.
• §6.Кинематический смысл кривизны и кручения
• §7. Вычисление кривизны и кручения в произвольной параметризации.
• §8. Задачи с решениями.
• 1. Доказать эквивалентность двух параметризованных кривых
• 3. Кривая в пространстве задана одним из способов: параметрически или в виде пересечения поверхностей. Выяснить расположение кривой в пространстве и по возможности нарисовать ее.
• 4. Кривая на плоскости задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.
• 5. Найти угол между кривыми в точке их пересечения:
• 6. Напишите уравнение касательной прямой и нормальной плоскости кривой , заданной параметрически в трехмерном пространстве, при :
• 7. Кривая задана как пересечение двух поверхностей:
• 8. Найти векторы канонического репера кривой
• 9. Кривая задана параметрическими уравнениями
• 10. Найти точки на кривой , в которых бинормаль параллельна плоскости .
• 11. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости
• 12. Даны параметрические уравнения двух кривых на плоскости или в пространстве, проходящих через общую точку. Определить порядок касания кривых в этой точке.
• 14. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости или в пространстве. Записать кривую через натуральный параметр s. Выяснить длину вектора r’(s) и направление вектора r”(s).
• 16. Даны параметрические уравнения кривой на плоскости или в пространстве. Найти кривизну и кручение кривой, не переходя к натуральному параметру.
• § 9. Задачи для самостоятельного решения.
• § 10. Тестовая работа по дифференциальной геометрии кривых
• Вариант ab.
• § 11. Методические указания по изучению темы дифференциальная геометрия поверхностей в трехмерном пространстве.
• Тема 1. Способы задания поверхностей. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.
• Поверхность в пространстве задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Задать ее другими оставшимися способами.
• Поверхность в пространстве задана одним из трех способов: параметрически, в виде графика функции или неявно. Написать уравнения касательной и нормали в данной точке.
• Тема 2. Касание поверхностей.
• Даны параметрические уравнения поверхности. Найти какую-нибудь поверхность, имеющую с данной поверхностью в данной точке касание 1, 2, 3 порядка.
• Даны параметрические уравнения двух поверхностей, проходящих через общую точку. Определить порядок касания поверхностей в этой точке.
• Тема 3. Первая квадратичная форма поверхности.
• Поверхность задана параметрически. Найти первую квадратичную форму поверхности.
• С помощью первой квадратичной формы найти длину кривой на поверхности, угол между кривыми и площадь области на поверхности.
• Тема 4. Вторая квадратичная форма поверхности. Полная и средняя кривизны поверхности.
• Тема 5. Первая и вторая квадратичные формы поверхности. Гауссова и средняя кривизны поверхности.
• § 12. Содержание курса Дифференциальная геометрия
• 2. Теория кривых в евклидовом пространстве
• 3. Теория поверхностей в евклидовом пространстве
• Литература