Производные высших порядков

Пусть F -- дифференцируемое отображение, действующее из X в У. Его производная F(x) при каждом xX есть элемент из о (X, У), т. е. F есть отображение пространства X в пространство линейных операторов о (Х, У). Если это отображение дифференцируемо, то его производная называется второй производной отображения F и обозначается символом F". Таким образом, F"(x) есть элемент пространства о (Х, о (Х, У)) линейных операторов, действующих из X в о (X, У). Покажем, что элементы этого пространства допускают более удобную и наглядную интерпретацию в виде так называемых билинейных отображений.

Мы говорим, что задано билинейное отображение пространства X в пространство У, если каждой упорядоченной паре элементов х, х из X поставлен в соответствие элемент у=В(х, х) У так, что выполнены следующие условия:

1. для любых из X и любых чисел имеют место равенства:

В (x₁ + х₂, ) =В (,)+В (х₂, ),

В (x₁, +) = В (,)+В(x_1, );

2. существует такое положительное число М, что

||В(х, х) || M||x||||x|| (17)

при всех х, х X.

Первое из этих условий означает, что отображение В линейно по каждому из двух своих аргументов; нетрудно показать, что второе условие равносильно непрерывности В по совокупности аргументов.

Наименьшее из чисел М, удовлетворяющих условию (17), называется нормой билинейного отображения В и обозначается ||В||.

Линейные операции над билинейными отображениями определяются обычным способом и обладают обычными свойствами.

Таким образом, билинейные отображения пространства X в пространство У сами образуют линейное нормированное пространство, которое мы обозначим В(Х², У). При полноте У полно и В(Х², У).

Каждому элементу А из пространства о(Х,о(Х,У)) можно поставить в соответствие элемент из В(Х², У), положив

В(х, х) = (Ах)х.(18)

Очевидно, что это соответствие линейно. Покажем, что оно также и изометрично и отображает пространство о(X,о(Х,У)) на все пространство B(X²,Y). Действительно, если у=В(х, х) = (Ах)х, то

||y||||Ax||||x||||A||||x||||x||,

откуда

||B||||A||(19)

С другой стороны, если задано билинейное отображение В, то при фиксированном xXотображение

х> (Ах)х = В(х, х)

есть линейное отображение пространства X в У.

Таким образом, каждому xX ставится в соответствие элемент Ах пространства о(X, У); очевидно, что Ах линейно зависит от х, т. е. билинейное отображение В определяет некоторый элемент А пространства о(Х, о(Х, У)). При этом ясно, что отображение В восстанавливается по А при помощи формулы (18) и

||Ах||= ||(Ax)x||= ||В(х,x) ||B|| ||x||,

Откуда

||A||||B||(20)

Сопоставляя (19) и (20), получаем||A|| = ||В||. Итак, соответствие между B(X²,Y) и о{X, о(X,Y)), определяемое равенством (18), линейно и изометрично, а следовательно, взаимно однозначно. При этом образ пространства о(Х, о(Х, У)) есть все В(Х², У).

Мы выяснили, что вторая производная F"(x) есть элемент пространства о(X, о (X, У)). В соответствии с только что сказанным мы можем считать F"(x) элементом пространства В(Х², Y).

Очевидным образом можно ввести понятие третьей, четвертой и вообще п-й производной отображения F, действующего из X в Y, определив п-ю производную как производную от производной (п--1)-го порядка. При этом, очевидно, п-я производная представляет собой элемент пространства о(Х, о(Х, ..., о(X, У))). Повторяя рассуждения, проведенные для второй производной, можно каждому элементу этого пространства естественным образом поставить в соответствие элемент пространства N(Х^п, У) n-линейных отображений X в У.

При этом под n-линейным отображением понимается такое соответствие y=N(x, х", ..., x⁽ⁿ⁾) между упорядоченными системами (х, х", .. . , x⁽ⁿ⁾) элементов из X и элементами пространства У, которое линейно по каждому из хⁱ при фиксированных остальных элементах и удовлетворяет при некотором М > 0 условию

|| N (x, х", ..., x⁽ⁿ⁾) ||М || х || * || х" || ... || x⁽ⁿ⁾ ||.

Таким образом, п-ю производную отображения F можно считать, элементом пространства N(Xⁿ, У).